이 페이지 목차 8개
  1. 개요
  2. 핵심 사실
  3. 비교표
  4. 시험 포인트
  5. 예제
  6. 확인 문제
  7. 이어서 보기
  8. 완료
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벡터의 성분과 내적

벡터를 좌표 성분으로 나타내 계산하고, 내적으로 두 벡터가 이루는 각과 수직 조건을 다룬다.

가르칠 때 짚을 것 교사용
시험에 나오는 것
성분 계산은 기계적이다. 배점은 **수직 조건을 내적 으로 옮기는 자리다. 기하 조건을 계산으로 바꾸는 이 한 줄이 문항 전체를 연다. 계산 연습을 줄이고 "수직"이라는 말이 보이면 곧바로 식을 세우는 반사**를 만든다.
여기서 무너집니다
내적의 결과에 화살표를 붙여 벡터처럼 다룬다. 기호가 곱셈처럼 생겼기 때문이다. 성분으로 계산시킨다. 를 실제로 계산하면 이라는 수 하나가 남는다. 결과가 수라는 것을 손으로 확인하면 다시 화살표를 붙이지 않는다.
확인 질문

의 결과는 벡터입니까 수입니까? 두 벡터가 수직이면 그 값은 얼마입니까?

"수"와 이 함께 나오면 통과. 벡터라고 답하면 각을 구하는 식에서 크기로 나누는 단계까지 함께 흔들린다.

개요

앞 소단원의 벡터는 화살표 그림으로 다뤘다. 그림은 뜻을 이해하는 데는 좋지만 계산에는 불편하다. 데카르트가 도형을 좌표로 옮겼듯, 벡터도 좌표평면 위에 놓으면 두 수의 짝이 된다. 그러면 덧셈과 실수배가 성분끼리의 사칙연산이 되어 계산이 단순해진다.

여기서 새로운 연산이 하나 등장한다. 내적이다. 벡터끼리 곱했는데 결과가 벡터가 아니라 **하나의 수(스칼라)**로 나온다는 점이 낯설지만, 이 수 하나에 두 벡터가 이루는 각의 정보가 담겨 있다. 특히 내적이 00 이면 두 벡터는 수직이며, 수직 조건을 계산으로 확인할 수 있다는 것이 내적의 가장 큰 쓸모다.

핵심 사실

정의

성분 표시: 벡터 a⃗\vec{a} 의 시작점을 원점으로 옮겼을 때 끝점의 좌표가 (a1,a2)(a_1, a_2) 이면 a⃗=(a1,a2)\vec{a} = (a_1, a_2) 로 쓴다. 크기는 피타고라스 정리로 구한다.

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
  • 성분의 연산: 덧셈·뺄셈·실수배는 모두 성분끼리 한다.
a⃗±b⃗=(a1±b1, a2±b2),ka⃗=(ka1, ka2)\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1,\ a_2 \pm b_2),\qquad k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2)
  • 두 점으로 나타낸 벡터: A(x1,y1)\mathrm{A}(x_1, y_1), B(x2,y2)\mathrm{B}(x_2, y_2) 일 때 AB→=(x2−x1, y2−y1)\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1) 이다.
  • 내적의 정의: 두 벡터가 이루는 각을 θ\theta 라 할 때
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
  • 성분으로 계산하면 훨씬 간단하다. 두 정의가 같은 값을 준다는 것이 이 소단원의 핵심 도구다.
a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • 각을 구하는 식: 위 두 식을 연결하면 두 벡터가 이루는 각이 나온다.
cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
  • 수직 조건: θ=90°\theta = 90° 이면 cos⁡θ=0\cos\theta = 0 이므로
a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
  • 자기 자신과의 내적은 크기의 제곱이다. a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2 이며, 이 성질이 크기를 다루는 계산의 출발점이다.
  • 내적의 성질: 교환법칙 a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a} 와 분배법칙 a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} 가 성립한다. 다만 결합법칙은 뜻을 갖지 않는다. (a⃗⋅b⃗)c⃗(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c} 에서 앞은 이미 수이기 때문이다.
  • 크기 계산의 요령: ∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 로 펼치면 내적만 알면 크기를 구할 수 있다. 곱셈 공식과 모양이 같다.

내적이 왜 a1b1+a2b2a_1b_1 + a_2b_2 이면서 동시에 ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta 인지, 두 식이 같다는 것이 이 소단원의 핵심 도구입니다. 코사인법칙 하나로 둘을 잇습니다. 마지막 단계에서 수직 조건이 왜 내적 00 인지도 나옵니다.

두 벡터가 만드는 삼각형에 코사인법칙을 쓴다(두 벡터가 평행하지 않을 때. 평행이면 각이 0° 또는 180° 라 같은 식이 그대로 성립한다).

1 / 4 단계

유도를 따라갔다면 이제 값이 실제로 같은지 확인해 보세요. 아래에서 화살표를 끌면 a1b1+a2b2a_1b_1 + a_2b_2 와 ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ|\vec a||\vec b|\cos\theta 가 나란히 계산됩니다. 굵게 표시된 것이 b⃗\vec b 를 a⃗\vec a 위에 내린 정사영이고, 내적은 ∣a⃗∣|\vec a| 에 그 길이를 곱한 값입니다. 화살표를 돌리다 보면 내적이 양수에서 음수로 넘어가는 자리가 있는데, 그 순간이 정확히 직각입니다. 아래 비교표의 부호 판정이 여기서 나옵니다.

θ 53°ab

a 는 3, 1 이고 b 는 1, 3 입니다. 내적은 6 이고 사잇각은 약 53.1도입니다. 내적이 양수이므로 예각입니다.

완료로 두면 기하 목차에 표시됩니다.