부등식과 일차부등식

개요

방정식 $2x + 1 = 7$ 의 해는 $x = 3$ 하나뿐이다. 그런데 현실에서는 “정확히 얼마”보다 “얼마 이하면 된다”, “얼마를 넘어야 한다” 를 따질 때가 훨씬 많다. 가진 돈으로 살 수 있는 공책의 최대 개수, 합격에 필요한 최소 점수 같은 것들이다.

이럴 때 등호 대신 부등호($<, >, \le, \ge$)로 이어 쓴 식이 부등식이다. 푸는 방법은 일차방정식과 거의 같지만, 딱 하나 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호의 방향이 뒤집힌다는 규칙이 붙는다. 이 한 가지만 확실히 챙기면 어렵지 않다. 그리고 해가 하나가 아니라 범위이므로, 답을 수직선 위에 그려 나타내는 연습도 함께 한다.

핵심 사실

• 부등식의 성질 ①: 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 그대로다.

$$a < b \;\Rightarrow\; a + c < b + c,\quad a - c < b - c$$

• 부등식의 성질 ②: 양변에 양수를 곱하거나 나눠도 방향은 그대로다. $c > 0$ 일 때

$$a < b \;\Rightarrow\; ac < bc,\quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$

• 부등식의 성질 ③: 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀐다. $2 < 3$ 의 양변에 $-1$ 을 곱하면 $-2 > -3$ 이 되는 것으로 확인할 수 있다. $c < 0$ 일 때

$$a < b \;\Rightarrow\; ac > bc,\quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$

• 일차부등식: 모든 항을 좌변으로 옮겨 정리했을 때 $ax + b > 0$ (또는 $<, \le, \ge$) 꼴이 되는 부등식이다.
• 푸는 순서는 일차방정식과 같다. ① 괄호를 풀고 ② 문자는 좌변, 상수는 우변으로 이항하고 ③ $ax > b$ 꼴로 정리한 뒤 ④ $x$ 의 계수로 양변을 나눈다. 이때 계수가 음수면 부등호를 뒤집는다.

$$-2x + 1 < 7 \;\Rightarrow\; -2x < 6 \;\Rightarrow\; x > -3$$

• 해를 수직선에 나타내기: 포함하지 않는 끝점($<, >$)은 빈 점 $\circ$, 포함하는 끝점($\le, \ge$)은 채운 점 $\bullet$ 으로 찍고 해당하는 쪽으로 선을 긋는다.
• 활용 문제는 “적어도”, “최대”, “넘지 않게” 같은 말을 부등호로 옮기는 것이 핵심이다. 개수·사람 수처럼 자연수만 답이 되는 경우에는 마지막에 범위 안의 자연수를 세어 답한다.