중2 식과 함수

개요

분수를 소수로 바꾸면 $\dfrac{1}{4}=0.25$ 처럼 딱 떨어지기도 하고, $\dfrac{1}{3}=0.333\ldots$ 처럼 끝없이 반복되기도 한다. 반복되는 소수를 순환소수라 부르는데, 놀랍게도 이런 무한소수도 다시 분수로 되돌릴 수 있다. 즉 분수로 나타낼 수 있는 수(유리수)는 유한소수 아니면 순환소수라는 규칙을 이 단원에서 확인한다.

핵심 사실

• 유한소수: 소수점 아래가 유한 번에서 끝나는 소수. $0.25,\ 0.7$
• 순환소수: 소수점 아래에서 몇 개의 숫자가 무한히 되풀이되는 소수. 되풀이되는 부분(순환마디) 위에 점을 찍어 $0.\dot{3}=0.333\ldots$, $0.\dot{1}\dot{2}=0.121212\ldots$ 로 쓴다.
• 판별법: 기약분수로 고친 뒤 분모를 소인수분해한다. 분모의 소인수가 $2$ 와 $5$ 뿐이면 유한소수, $2 \cdot 5$ 이외의 소인수가 하나라도 있으면 순환소수다.

$$\frac{3}{8}=\frac{3}{2^3}=0.375\ (\text{유한}), \qquad \frac{1}{6}=\frac{1}{2 \times 3}=0.1\dot{6}\ (\text{순환})$$

• 순환소수 → 분수: $10^n$ 을 곱해 소수 부분을 겹친 뒤 빼서 순환마디를 지운다.

$$x = 0.\dot{4}=0.444\ldots \;\Rightarrow\; 10x - x = 4 \;\Rightarrow\; x=\frac{4}{9}$$

비교표

분수	분모의 소인수	소수	종류
$\dfrac{7}{20}$	$2^2 \times 5$	$0.35$	유한소수
$\dfrac{1}{6}$	$2 \times 3$	$0.1\dot{6}$	순환소수
$\dfrac{5}{11}$	$11$	$0.\dot{4}\dot{5}$	순환소수

시험 포인트

• 반드시 기약분수로 먼저 약분한 뒤 분모를 본다. $\dfrac{6}{30}$ 은 분모에 $3$ 이 있어 보이지만 약분하면 $\dfrac{1}{5}$ 라 유한소수다.
• 순환마디의 점은 되풀이되는 첫 숫자와 끝 숫자에만 찍는다. $0.2\dot{3}\dot{1}=0.2313131\ldots$
• 분수로 되돌릴 때 곱하는 $10$ 의 거듭제곱은 순환마디의 자릿수에 맞춘다(한 자리면 $10$, 두 자리면 $100$).

개요

중1에서는 $x$ 하나짜리 식을 다뤘다. 중2에서는 $a^3$ 처럼 거듭제곱이 들어가고, 여러 문자가 섞인 식을 계산한다. 겁먹을 필요는 없다. 규칙 몇 개만 손에 익히면, 길고 복잡해 보이는 식도 기계적으로 짧게 정리할 수 있다. 기초부터 차근차근 규칙을 하나씩 쌓아 보자.

핵심 사실

• 지수법칙: 같은 밑끼리 곱하면 지수를 더하고, 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱한다.

$$a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n$$

• 나눗셈은 밑이 같을 때 지수를 뺀다. $m$ 과 $n$ 의 크기에 따라 세 경우로 갈린다.
  • $m > n$ 이면 $a^m \div a^n = a^{m-n}$
  • $m = n$ 이면 $a^m \div a^n = 1$
  • $m < n$ 이면 $a^m \div a^n = \dfrac{1}{a^{n-m}}$
• 동류항은 문자와 지수가 똑같은 항이다. 계수끼리만 더하고 빼서 정리한다. $3a + 5a = 8a$
• 분배법칙으로 단항식과 다항식을 곱한다. 괄호 안 모든 항에 빠짐없이 곱한다.

$$2x(3x - 1) = 6x^2 - 2x$$

비교표

상황	법칙	예
같은 밑의 곱	지수를 더한다	$a^3 \times a^2 = a^5$
거듭제곱의 거듭제곱	지수를 곱한다	$(a^3)^2 = a^6$
같은 밑의 나눗셈	지수를 뺀다	$a^6 \div a^2 = a^4$
곱의 거듭제곱	각 인수에 지수를 준다	$(2a)^3 = 8a^3$

시험 포인트

• $a^3 \times a^2$ 의 지수는 곱한 $6$ 이 아니라 더한 $5$ 다. 곱셈은 지수를 더한다를 잊지 않는다.
• 반대로 $(a^m)^n$ 은 지수를 곱한다. 두 규칙을 서로 바꿔 쓰는 실수가 가장 잦다.
• $(a + b)^2$ 는 $a^2 + b^2$ 이 아니다. 가운데 $2ab$ 가 빠진다. 곱셈 공식은 중3에서 본격적으로 다루지만, 지금은 “괄호를 그냥 나눠 제곱하면 안 된다”만 확실히 기억하자.

개요

일차방정식 $x + y = 5$ 처럼 미지수가 두 개면, 방정식 하나로는 답이 하나로 정해지지 않는다. $(1, 4)$ 도 되고 $(2, 3)$ 도 되기 때문이다. 이럴 때는 조건이 두 개 모여야 답 하나가 딱 정해진다. 두 방정식을 짝지어 함께 푸는 것이 연립일차방정식이다.

핵심 사실

• 미지수가 2개인 일차방정식 하나는 해가 무수히 많다. 두 방정식을 동시에 만족하는 공통해가 연립방정식의 해다.

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \;\Rightarrow\; x = 3,\ y = 2$$

• 가감법: 두 식을 더하거나 빼서 한 미지수를 없앤다. 위 예에서 두 식을 더하면 $2x = 6$ 이 되어 $x = 3$, 되대입하면 $y = 2$ 다.
• 대입법: 한 식을 $y = \square$ 꼴로 정리해 다른 식에 대입한다. 위 예의 첫 식에서 $y = 5 - x$ 를 둘째 식에 넣으면 $x - (5 - x) = 1$, 곧 $2x = 6$ 이 되어 똑같이 $x = 3,\ y = 2$ 를 얻는다.
• 한 미지수를 구하면 나머지는 아무 식에나 되대입해 구한다.

비교표

방법	언제 편한가	예
가감법	같은 미지수의 계수가 같거나 부호만 다를 때	두 식을 더해 $y$ 소거
대입법	한 식이 이미 $x =$ 또는 $y =$ 꼴일 때	$y = 5 - x$ 를 대입

시험 포인트

• 가감법에서 두 식을 뺄 때는 모든 항의 부호를 바꿔야 한다. 한 항만 바꾸면 틀린다.
• 한 미지수를 구한 뒤 되대입을 잊지 않는다. 절반만 구하고 끝내는 실수가 잦다.
• 구한 해를 원래 두 식 모두에 넣어 검산한다. 한 식만 맞아서는 안 된다.
• 그래프로 그리면 두 식은 각각 직선이 된다. 두 직선이 만나는 교점이 바로 연립방정식의 해다. 이 이야기는 다음 소단원에서 이어 간다.

개요

Unit 2에서 좌표평면 위에 점을 찍고 직선의 기울기·절편을 읽는 연습을 했다. 이번에는 한 걸음 더 나아간다. $x$ 값 하나에 $y$ 값이 딱 하나씩 정해지는 대응, 곧 함수의 눈으로 직선을 본다. 두 양의 관계를 $y = ax + b$ 라는 식으로 세우고, 그 식이 그리는 직선을 자유롭게 읽고 비교해 보자.

핵심 사실

• 함수는 $x$ 값 하나에 $y$ 값이 오직 하나씩 대응하는 관계다. 그중 $y = ax + b$ ($a \neq 0$) 꼴을 일차함수라 하고, 그래프는 직선이다.
• 기울기 $a$ 는 두 점만 알면 구할 수 있다. $x$ 가 변한 만큼에 대해 $y$ 가 변한 비율이다.

$$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

예를 들어 두 점 $(0, 1)$, $(2, 7)$ 을 지나면 기울기는 $\dfrac{7 - 1}{2 - 0} = 3$ 이다.

• 절편: $y$ 절편은 $b$ (그래프가 $y$ 축과 만나는 높이), $x$ 절편은 $y = 0$ 을 넣어 얻는 $-\dfrac{b}{a}$ 다.
• 평행 조건: 두 일차함수의 기울기가 같고 $y$ 절편이 다르면 두 직선은 평행하다. 기울기도 $y$ 절편도 모두 같으면 평행이 아니라 완전히 겹치는(일치하는) 직선이다.
• 연립방정식과의 연결: 두 일차방정식을 각각 직선으로 그리면, 그 교점의 좌표가 곧 연립방정식의 해다.

아래 슬라이더로 직접 확인해 보세요. 이 위젯은 $y = ax^2 + bx + c$ 를 그리므로, b가 기울기, c가 $y$ 절편에 해당하고, a를 $0$ 으로 두면 완전한 직선(일차함수)이 됩니다. 프리셋으로 기울기만 바꿔 보고, 다음엔 $y$ 절편만 바꿔 직선이 나란히 평행 이동하는 모습을 눈으로 확인해 보세요.

기울기 바꾸기평행 이동 (c만 +3)

a = 0.0b = 2.0c = 1.0

a (구부러짐) b (기울기) c (y절편)

비교표

대상	형태	구하는 것 / 그래프에서의 의미
일차방정식	$ax + b = 0$	식을 참으로 만드는 $x$ 하나
일차함수	$y = ax + b$	$x$ 마다 정해지는 직선 전체
연립일차방정식	두 일차방정식	두 직선의 교점 좌표

시험 포인트

• 기울기는 $\dfrac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}}$ 이다. 분모·분자를 뒤집지 않는다.
• 기울기가 같아도 $y$ 절편까지 같으면 평행이 아니라 일치다. “평행”이라 답하지 않도록 주의한다.
• $a = 0$ 이면 $y = b$ 로 가로선이 되어 일차함수가 아니다. $a \neq 0$ 조건을 꼭 확인한다.
• 두 직선의 교점을 구하라는 문제는 결국 연립방정식을 푸는 것과 같다.

개요

중2 도형은 삼각형을 깊이 들여다본다. 특히 두 변이 같은 이등변삼각형은 밑각이 같다는 아름다운 대칭을 가지고, 직각삼각형에는 전용 합동조건이 있다. 나아가 삼각형에 딱 맞는 두 개의 특별한 점, 외심과 내심을 만난다. 이 성질들은 모두 앞 단원의 합동을 근거로 증명된다.

핵심 사실

• 이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형. 두 밑각의 크기가 같다. 또 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
• 이등변삼각형이 되는 조건: 거꾸로 두 밑각이 같으면 그 삼각형은 이등변삼각형이다.
• 직각삼각형의 합동조건: 일반 합동조건 외에 두 가지가 더 있다.
  • 빗변과 한 예각이 같다 (RHA)
  • 빗변과 다른 한 변이 같다 (RHS)
• 외심: 세 변의 수직이등분선이 만나는 점. 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있어, 이 점을 중심으로 외접원을 그릴 수 있다.
• 내심: 세 내각의 이등분선이 만나는 점. 세 변에서 같은 거리에 있어, 이 점을 중심으로 내접원을 그릴 수 있다.

비교표

점	만나는 선	등거리 대상	원
외심	세 변의 수직이등분선	세 꼭짓점	외접원
내심	세 내각의 이등분선	세 변	내접원

시험 포인트

• 외심 ↔ 수직이등분선 ↔ 꼭짓점, 내심 ↔ 각의 이등분선 ↔ 변 — 이 짝을 뒤바꾸는 실수가 가장 흔하다.
• 직각삼각형의 외심은 항상 빗변의 중점에 있다(빗변이 외접원의 지름).
• 이등변삼각형 문제는 “두 밑각이 같다”를 쓰고 나머지 각을 $180^\circ$ 에서 계산하는 흐름이 기본이다.

개요

여러 사각형은 따로 떨어진 것이 아니라 평행사변형에서 조건이 하나씩 더해지며 갈라져 나온 가족이다. 평행사변형의 성질을 뿌리로 삼으면 직사각형·마름모·정사각형의 성질이 자연스럽게 이어진다. 각 사각형을 구별하는 열쇠는 대부분 대각선에 있다.

핵심 사실

• 평행사변형의 성질: 두 쌍의 대변이 평행한 사각형에서 다음이 모두 성립한다.
  • 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
  • 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
  • 두 대각선이 서로를 이등분한다.
• 직사각형: 네 각이 모두 직각. 평행사변형의 성질에 더해 두 대각선의 길이가 같다.
• 마름모: 네 변의 길이가 모두 같음. 평행사변형의 성질에 더해 두 대각선이 서로 수직으로 이등분한다.
• 정사각형: 직사각형이면서 마름모. 대각선이 길이도 같고 서로 수직이등분한다.
• 사다리꼴: 한 쌍의 대변만 평행한 사각형.

비교표

사각형	대각선의 특징
평행사변형	서로 이등분
직사각형	이등분 + 길이 같음
마름모	이등분 + 서로 수직
정사각형	이등분 + 길이 같음 + 수직

시험 포인트

• 대각선의 길이가 같다 → 직사각형 계열, 대각선이 수직이다 → 마름모 계열로 기억하면 구별이 쉽다.
• 정사각형은 직사각형이자 마름모이므로 두 성질을 모두 가진다(“정사각형 ⊂ 직사각형”, “정사각형 ⊂ 마름모”).
• 어떤 사각형이 평행사변형이 되는지 판단하는 “평행사변형이 되는 조건” 문제도 자주 나온다.

개요

닮음은 크기는 달라도 모양이 같은 관계다. 지도, 축소 모형, 사진 확대는 모두 닮음의 예다. 합동이 “완전히 포개짐”이라면 닮음은 “일정한 비율로 확대·축소하면 포개짐”이다. 이 비율(닮음비)이 넓이와 부피에서는 제곱·세제곱으로 커진다는 사실이 이 단원의 핵심이다.

핵심 사실

• 닮음비: 닮은 두 도형에서 대응변의 길이의 비. 모든 대응변에서 이 비가 일정하고, 대응각의 크기는 서로 같다.
• 삼각형의 닮음조건: 다음 중 하나면 두 삼각형은 닮음이다.
  • 세 쌍의 대응변의 비가 같다 (SSS 닮음)
  • 두 쌍의 대응변의 비가 같고 그 낀각이 같다 (SAS 닮음)
  • 두 쌍의 대응각이 각각 같다 (AA 닮음)
• 넓이비와 부피비: 닮음비가 $m : n$ 이면

$$\text{넓이의 비}=m^2 : n^2, \qquad \text{부피의 비}=m^3 : n^3$$

아래 확대경으로 배율을 직접 밀어 보세요. 길이를 $2$ 배 하면 넓이는 $2$ 배가 아니라 $4$ 배가 되는데, 이것은 외울 규칙이 아니라 칸을 세어 보면 바로 보이는 사실입니다 — 가로로도 $2$ 배, 세로로도 $2$ 배 늘어나기 때문입니다.

길이 2배길이 3배

길이비

1 : 2

넓이비

1 : 4

부피비

1 : 8

닮음비 k

길이 2배 → 넓이 2² = 4배 → 부피 2³ = 8배

• 평행선과 선분의 비: 삼각형의 한 변에 평행한 직선이 다른 두 변과 만나면, 나뉜 선분들의 비가 같다.

비교표

비교 대상	닮음비가 $m:n$ 일 때
대응변의 길이	$m : n$
넓이	$m^2 : n^2$
부피	$m^3 : n^3$

시험 포인트

• 닮음조건은 “변의 비”이고 합동조건은 “변의 길이” — AA(두 각 같음)는 닮음조건이지만 합동조건은 아니다.
• 넓이비·부피비에서 지수를 빠뜨려 닮음비를 그대로 쓰는 실수가 가장 많다. 닮음비 $2:3$ 이면 넓이비는 $4:9$, 부피비는 $8:27$ 이다.
• 실제 넓이나 부피를 물으면, 비를 먼저 세우고 한쪽 값을 이용해 비례식으로 구한다.

개요

“몇 가지 방법이 있을까?”를 정확히 세는 것이 경우의 수다. 하나하나 그려서 세면 금방 한계에 부딪히므로, 두 가지 법칙으로 빠르게 계산한다. 언제 더하고(합의 법칙) 언제 곱하는지(곱의 법칙)를 구별하는 것이 핵심이며, 이는 다음 단원의 확률 계산으로 곧장 이어진다.

핵심 사실

• 합의 법칙: 두 사건 $A$, $B$ 가 동시에 일어나지 않을 때(둘 중 하나만 골라야 할 때), 일어나는 경우의 수는 각각을 더한다. $A$ 가 $m$ 가지, $B$ 가 $n$ 가지면 $m+n$ 가지.
• 곱의 법칙: 사건 $A$ 가 일어나고 이어서 사건 $B$ 가 일어날 때, 경우의 수는 서로 곱한다. $A$ 가 $m$ 가지, 각각에 대해 $B$ 가 $n$ 가지면 $m \times n$ 가지.
• 한 줄로 세우기: 서로 다른 $n$ 개를 한 줄로 늘어놓는 경우의 수는 $n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$ 이다.
• 구별 신호: 문제에 “또는·이거나”가 보이면 합, “그리고·동시에·연달아”가 보이면 곱인 경우가 많다.

비교표

법칙	언제	계산	예
합의 법칙	동시에 안 일어남 (또는)	$m+n$	2 또는 3의 배수 고르기
곱의 법칙	잇따라 일어남 (그리고)	$m \times n$	동전과 주사위 함께 던지기

시험 포인트

• 합의 법칙은 두 사건이 동시에 일어나지 않는다는 조건이 반드시 필요하다 — 겹치는 경우가 있으면 그만큼 빼 줘야 한다.
• “동전 1개와 주사위 1개를 함께 던지기”는 곱의 법칙으로 $2 \times 6 = 12$ 가지다.
• 세는 대상이 순서를 따지는지(줄 세우기) 여부에 따라 곱하는 방식이 달라진다.

개요

확률은 어떤 일이 일어날 가능성을 $0$ 부터 $1$ 까지의 수로 나타낸 것이다. 앞 단원에서 센 경우의 수가 바로 재료가 된다 — “일어나는 경우”를 “모든 경우”로 나누면 확률이다. 확률의 성질과 여사건을 이용하면 복잡해 보이는 문제도 간단히 풀린다.

핵심 사실

• 확률의 뜻: 일어날 수 있는 모든 경우가 같은 정도로 기대될 때,

$$(\text{확률})=\frac{(\text{사건이 일어나는 경우의 수})}{(\text{모든 경우의 수})}$$

• 확률의 성질: 어떤 사건의 확률 $p$ 는 항상 $0 \le p \le 1$ 이다. 반드시 일어나는 사건은 $1$, 절대 일어나지 않는 사건은 $0$.
• 여사건의 확률: 사건 $A$ 가 일어나지 않을 확률은 $1-p$ 다. “적어도 하나”를 묻는 문제에서 특히 강력하다.
• 확률의 곱셈: 서로 영향을 주지 않는 두 사건이 잇따라 모두 일어날 확률은 각 확률을 곱한다. $p \times q$.

주사위 두 개의 합을 직접 굴려 보면 확률이 왜 고르지 않은지 보인다. 합이 $7$ 인 경우는 여섯 가지($1{+}6$ 부터 $6{+}1$ 까지)나 되지만 합이 $2$ 인 경우는 한 가지뿐이라, 시행을 늘릴수록 가운데가 높은 산 모양이 또렷해진다.

두 주사위의 합 1,000번동전 10개 10,000번

주사위 한 개동전 10개 중 앞면 수주사위 두 개의 합

1회 10회 1,000회 10,000회 초기화

시행 횟수

0

이론값과의 최대 차이

—

가로선이 이론 확률입니다. 몇 번 굴려서는 막대가 선과 한참 어긋납니다.

비교표

상황	계산
사건이 일어날 확률	사건의 경우의 수 ÷ 모든 경우의 수
일어나지 않을 확률	$1-p$
두 사건이 잇따라 모두	$p \times q$

시험 포인트

• 확률은 결코 $1$ 을 넘거나 음수가 될 수 없다 — 계산 결과가 이 범위를 벗어나면 어딘가 틀린 것이다.
• “적어도 ~” 유형은 여사건 $1-p$ 로 바꾸면 훨씬 간단해지는 경우가 많다.
• 확률을 구하려면 모든 경우가 같은 정도로 기대되는지(예: 공정한 주사위·동전) 먼저 확인해야 한다.

개요

방정식 $2x + 1 = 7$ 의 해는 $x = 3$ 하나뿐이다. 그런데 현실에서는 “정확히 얼마”보다 “얼마 이하면 된다”, “얼마를 넘어야 한다” 를 따질 때가 훨씬 많다. 가진 돈으로 살 수 있는 공책의 최대 개수, 합격에 필요한 최소 점수 같은 것들이다.

이럴 때 등호 대신 부등호($<, >, \le, \ge$)로 이어 쓴 식이 부등식이다. 푸는 방법은 일차방정식과 거의 같지만, 딱 하나 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호의 방향이 뒤집힌다는 규칙이 붙는다. 이 한 가지만 확실히 챙기면 어렵지 않다. 그리고 해가 하나가 아니라 범위이므로, 답을 수직선 위에 그려 나타내는 연습도 함께 한다.

핵심 사실

• 부등호의 뜻: $a < b$ ($a$ 는 $b$ 보다 작다, 미만), $a > b$ (초과), $a \le b$ (작거나 같다, 이하), $a \ge b$ (크거나 같다, 이상). 밑줄이 있으면 그 값도 포함한다.
• 부등식의 성질 ① — 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 그대로다.

$$a < b \;\Rightarrow\; a + c < b + c,\quad a - c < b - c$$

• 부등식의 성질 ② — 양변에 양수를 곱하거나 나눠도 방향은 그대로다. $c > 0$ 일 때

$$a < b \;\Rightarrow\; ac < bc,\quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$

• 부등식의 성질 ③ — 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀐다. $2 < 3$ 의 양변에 $-1$ 을 곱하면 $-2 > -3$ 이 되는 것으로 확인할 수 있다. $c < 0$ 일 때

$$a < b \;\Rightarrow\; ac > bc,\quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$

• 일차부등식: 모든 항을 좌변으로 옮겨 정리했을 때 $ax + b > 0$ (또는 $<, \le, \ge$) 꼴이 되는 부등식이다.
• 푸는 순서는 일차방정식과 같다. ① 괄호를 풀고 ② 문자는 좌변, 상수는 우변으로 이항하고 ③ $ax > b$ 꼴로 정리한 뒤 ④ $x$ 의 계수로 양변을 나눈다. 이때 계수가 음수면 부등호를 뒤집는다.

$$-2x + 1 < 7 \;\Rightarrow\; -2x < 6 \;\Rightarrow\; x > -3$$

• 해를 수직선에 나타내기: 포함하지 않는 끝점($<, >$)은 빈 점 $\circ$, 포함하는 끝점($\le, \ge$)은 채운 점 $\bullet$ 으로 찍고 해당하는 쪽으로 선을 긋는다.
• 활용 문제는 “적어도”, “최대”, “넘지 않게” 같은 말을 부등호로 옮기는 것이 핵심이다. 개수·사람 수처럼 자연수만 답이 되는 경우에는 마지막에 범위 안의 자연수를 세어 답한다.

비교표

	일차방정식	일차부등식
기호	$=$	$<,\ >,\ \le,\ \ge$
해	대개 하나의 값 ($x = 3$)	값의 범위 ($x > 3$)
푸는 법	이항 → 계수로 나누기	같음
음수로 나눌 때	그대로	부등호 방향이 뒤집힘
답을 그리면	수직선 위의 점 하나	수직선 위의 반직선

우리말 표현	부등호	끝점 포함
$a$ 초과 / $a$ 보다 크다	$x > a$	포함 안 함 $\circ$
$a$ 이상 / $a$ 보다 작지 않다	$x \ge a$	포함 $\bullet$
$a$ 미만 / $a$ 보다 작다	$x < a$	포함 안 함 $\circ$
$a$ 이하 / $a$ 를 넘지 않는다	$x \le a$	포함 $\bullet$

시험 포인트

• 음수로 곱하거나 나눌 때 부등호를 뒤집는다. 부등식에서 가장 많이 틀리는 자리다. $-3x > 6$ 의 해는 $x > -2$ 가 아니라 $x < -2$ 다.
• 이항할 때는 부등호를 뒤집지 않는다. 방향이 바뀌는 것은 오직 음수를 곱하거나 나눌 때뿐이다. 항을 옮기는 것은 양변에 같은 수를 더하는 것이므로 방향이 그대로다.
• 이상·이하와 초과·미만을 구분한다. ”$5$ 명 이상”은 $x \ge 5$ 로 $5$ 를 포함하지만, ”$5$ 명 초과”는 $x > 5$ 로 $6$ 부터다. 수직선의 점도 $\bullet$ / $\circ$ 로 달라진다.
• 계수에 분수나 소수가 있으면 양변에 같은 양수를 곱해 정수로 만든 뒤 푼다. 이때 곱하는 수가 양수이므로 방향은 그대로다.
• 활용 문제의 답이 개수·사람 수라면 자연수로 맞춰 답한다. $x \le 7.5$ 라면 최대 개수는 $7$ 개다.
• 구한 범위에서 값 하나를 골라 원래 부등식에 넣어 검산한다. 방향을 뒤집었는지 여부가 여기서 바로 드러난다.