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확률의 계산

확률의 뜻을 경우의 수로 정의하고, 0과 1 사이라는 성질과 여사건·곱셈을 이용한 계산을 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

기본 확률은 경우의 수만 세면 나온다. 배점은 "적어도" 유형을 여사건으로 바꾸는 자리다. 정면으로 세면 경우가 폭발하는 문항을

1 - p

로 한 줄에 끝내는지가 갈린다. "적어도"가 보이면 여사건부터 떠올리는 반사를 만든다.

여기서 무너집니다

여사건을 쓰긴 하는데 "적어도 하나"의 반대를 "모두"로 잡는다. 말로 정확히 뒤집게 한다. "적어도 하나 앞면"의 반대는 "앞면이 하나도 없다", 곧 전부 뒷면이다. 아이 입으로 뒤집은 문장을 말하게 한 뒤 계산에 들어간다.

확인 질문

동전 세 개를 던져 적어도 하나가 앞면일 확률은 얼마입니까? 어떻게 구했습니까?

$\frac{7}{8}$ 과 함께 "전부 뒷면일 확률 $\frac{1}{8}$ 을 $1$ 에서 뺐다"가 나오면 통과. 여덟 경우를 다 세어 맞혔다면 답은 되지만 개수가 늘어나는 문항에서 곧 막힌다.

개요

확률은 어떤 일이 일어날 가능성을 $0$ 부터 $1$ 까지의 수로 나타낸 것이다. 앞 단원에서 센 경우의 수가 바로 재료가 된다. “일어나는 경우”를 “모든 경우”로 나누면 확률이다. 확률의 성질과 여사건을 이용하면 복잡해 보이는 문제도 간단히 풀린다.

정의

확률의 뜻: 일어날 수 있는 모든 경우가 같은 정도로 기대될 때,

(\text{확률})=\frac{(\text{사건이 일어나는 경우의 수})}{(\text{모든 경우의 수})}

확률의 성질: 어떤 사건의 확률 $p$ 는 항상 $0 \le p \le 1$ 이다. 반드시 일어나는 사건은 $1$ , 절대 일어나지 않는 사건은 $0$ .
여사건의 확률: 사건 $A$ 가 일어나지 않을 확률은 $1-p$ 다. “적어도 하나”를 묻는 문제에서 특히 강력하다.
확률의 곱셈: 서로 영향을 주지 않는 두 사건이 잇따라 모두 일어날 확률은 각 확률을 곱한다. $p \times q$ .

주사위 두 개의 합을 직접 굴려 보면 확률이 왜 고르지 않은지 보인다. 합이 $7$ 인 경우는 여섯 가지( $1{+}6$ 부터 $6{+}1$ 까지)나 되지만 합이 $2$ 인 경우는 한 가지뿐이라, 시행을 늘릴수록 가운데가 높은 산 모양이 또렷해진다.

가로선이 이론 확률입니다. 몇 번 굴려서는 막대가 선과 한참 어긋납니다.

완료로 두면 중2 식과 함수 목차에 표시됩니다.