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등차수열과 등비수열

일정하게 더하는 수열과 일정하게 곱하는 수열의 일반항과 합 공식을, 유도까지 통째로 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

일반항과 합 공식은 대입이라 배점이 작다. 갈리는 곳은 **

(n - 1)

이다. 항수와 간격 수를 헷갈려 한 칸씩 밀린 답을 쓴다. 공식 암기 대신 첫 항부터 제

n

항까지 오는 동안 몇 번 더했는지 세게 하는 훈련**에 시간을 쓴다.

여기서 무너집니다

a_{n} = a + n d

라고 쓴다. "

n

번째니까

n

을 곱한다"로 여기기 때문이다. 손가락으로 세게 한다. 첫 항에서 둘째 항까지 한 번, 셋째까지 두 번.

n

째까지는

n - 1

번이다. 이 한 번의 셈이 등비수열의

r^{n - 1}

까지 함께 잡는다.

확인 질문

첫째항 $3$ , 공차 $2$ 인 등차수열의 제 $10$ 항은 얼마입니까? $2$ 를 몇 번 더했습니까?

$21$ 과 " $9$ 번"이 함께 나오면 통과. $23$ 이 나오면 $10$ 번 더한 것이니, 항수와 간격 수를 손으로 세어 확인시킨다.

개요

함수가 “연속으로 매끄럽게 변하는 양”이었다면, 수열은 “한 칸씩 뛰며 차례로 나열되는 수”다. $a_1, a_2, a_3, \dots$ 처럼 번호를 붙여 늘어놓은 수의 행렬이다. 규칙이 있는 수열은 무수히 많지만, 이 단원은 가장 단순한 두 가지, 곧 일정하게 더하는 등차수열과 일정하게 곱하는 등비수열을 다룬다. 일반항과 합 공식을 외우기만 하는 것이 아니라, 그 공식이 어디서 나오는지 유도까지 통째로 익힌다.

핵심 사실

정의

등차수열: 첫째항 $a_1$ , 매번 일정하게 더하는 값(공차) $d$ 로 정해진다. 제 $n$ 항까지 공차를 $(n-1)$ 번 더하므로 일반항은

a_n = a_1 + (n - 1)d

등차수열의 합: 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합은

S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}

같은 합을 거꾸로 써서 나란히 더하는 가우스의 짝짓기 아이디어에서 나온다. 어린 가우스가 $1$ 부터 $100$ 까지의 합을 순식간에 $5050$ 으로 구했다는 일화가 바로 이것이다. (수학 인물 코너의 가우스 이야기와 이어진다.)

등비수열: 첫째항 $a$ , 매번 일정하게 곱하는 값(공비) $r$ 로 정해진다. 제 $n$ 항까지 공비를 $(n-1)$ 번 곱하므로 일반항은

a_n = ar^{n-1}

등비수열의 합: $r \neq 1$ 일 때

S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1} \qquad (r \neq 1)

양변에 공비 $r$ 을 곱한 식과 원래 식을 빼면 가운데 항이 몽땅 상쇄되는 아이디어에서 나온다.

중항: 세 수가 이 순서로 수열을 이룰 때 가운데 항을 중항이라 부른다. 등차라면 가운데가 양옆의 평균이고, 등비라면 가운데의 제곱이 양옆의 곱이다.

2b = a + c \quad \text{(등차중항)}, \qquad b^2 = ac \quad \text{(등비중항)}

공차나 공비를 구하지 않고도 가운데 항이 바로 나오는 것이 이 관계의 값이다. 세 수가 등차수열인지 등비수열인지 판정할 때도 같은 식을 쓴다. 다만 등비 쪽은 제곱을 벗기는 자리에서 $b = \pm\sqrt{ac}$ 로 답이 둘이 된다. 단계별 유도는 등차중항 과 등비중항 편에 있다.

귀납적 정의(점화식): 일반항을 바로 적는 대신 첫째항과 이웃한 두 항의 관계로 수열을 정하는 방법이다. 등차수열과 등비수열도 이렇게 적을 수 있다.

a_1 = a, \quad a_{n+1} = a_n + d \quad \text{(등차)}, \qquad a_1 = a, \quad a_{n+1} = r\,a_n \quad \text{(등비)}

두 줄이 함께 있어야 수열 하나가 정해진다. 첫째항이 없으면 어디서 출발하는지 모르고, 관계식이 없으면 다음 항을 만들 수 없다. 앞 항에서 다음 항을 계단 오르듯 하나씩 만들어 내는 방식이라 귀납적이라 부른다. 일반항을 한 번에 적기 어려운 수열도 이 꼴로는 적히는 경우가 많아, 다음 단원의 수학적 귀납법과 곧장 이어진다.

아래 스테퍼에서 두 합 공식의 유도를 프리셋으로 전환하며 확인해 보세요. 등차수열의 합은 거꾸로 더해 짝짓고, 등비수열의 합은 $r$ 을 곱해 뺍니다. 서로 다른 두 아이디어를 나란히 놓고 비교할 수 있습니다.

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

첫째항부터 n번째 항까지의 합을 Sₙ 이라 둔다.

1 / 5 단계

공식을 보기 전에 두 수열이 어떻게 다르게 자라는지부터 눈에 담아 두면 좋습니다. 아래에서 등차와 등비를 번갈아 눌러 보세요. 등차는 점들이 직선 위에 놓이고(그래서 일반항이 일차식입니다), 등비는 곡선을 그립니다. 공차와 공비를 음수로 밀면 위아래로 오르내리는 모습도 볼 수 있습니다.

첫째항 a = 2 공차 d = 3 항의 개수 n = 8

2,5,8,11,14,17,20,23

항이 일정하게 3 씩 더해져 점들이 직선 위에 놓인다. 이것이 등차수열의 일반항이 일차식인 이유다.

완료로 두면 대수 지수·로그와 수열 목차에 표시됩니다.