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지수함수와 로그함수

지수와 로그를 함수로 확장해 그래프의 모양과 성질을 이해하고, 두 함수가 서로 역함수 관계임을 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

그래프의 모양은 금방 익힌다. 배점은 **밑이

1

보다 작을 때 대소가 뒤집히는 자리**다. 밑을

\frac{1}{2}

로 준 문항이 반드시 나오고, 여기서 부등호를 그대로 두면 답이 정반대가 된다. **밑을

1

과 견주는 것을 첫 수순으로 고정한다.**

여기서 무너집니다

두 함수가 역함수라는 말을 외우지만 그래프에서 못 알아본다. **한 장에 겹쳐 그리고

y = x

를 접는 선으로 그어 보게 한다**. 종이를 실제로 접어 두 곡선이 포개지는 것을 보면, 정의역과 치역이 왜 뒤바뀌는지가 설명 없이 남는다.

확인 질문

$y = (\frac{1}{2})^{x}$ 는 증가합니까, 감소합니까? 그래서 대소를 비교할 때 무엇이 달라집니까?

"감소"와 "부등호가 뒤집힌다"가 함께 나오면 통과. 증가라고 하면 밑을 $1$ 과 견주지 않은 것이니, 지수·로그 부등식으로 넘어가지 않는다.

개요

지수와 로그를 함수로 바라보면 새로운 세계가 열린다. $y=2^x$ 처럼 지수 자리에 변수가 오는 함수는 폭발적으로 커지거나 잦아드는 변화를 나타내고, 로그함수는 그 반대 방향을 담당한다. 특히 지수함수와 로그함수는 서로 역함수여서, 한쪽의 성질을 알면 다른 쪽이 저절로 따라온다.

핵심 사실

지수함수 $y=a^x$ $y = a^{x}$ ( $a>0,\ a\neq 1$ $a > 0, a \neq = 1$ ): 정의역은 모든 실수, 치역은 $y>0$ $y > 0$ . 그래프는 점 $(0,1)$ $(0, 1)$ 을 반드시 지난다.
- $a>1$ 이면 증가, $0<a<1$ 이면 감소. $x$ 축( $y=0$ )이 점근선이다.
로그함수 $y=\log_a x$ $y = lo g_{a} x$ : 지수함수 $y=a^x$ $y = a^{x}$ 의 역함수. 정의역은 $x>0$ $x > 0$ , 치역은 모든 실수. 그래프는 점 $(1,0)$ $(1, 0)$ 을 지난다.
- $a>1$ 이면 증가, $0<a<1$ 이면 감소. $y$ 축( $x=0$ )이 점근선이다.
역함수 관계: 두 그래프는 직선 $y=x$ 에 대해 대칭이다.

y=a^x \iff x=\log_a y

대소 비교: 밑 $a>1$ 이면 지수(또는 진수)가 클수록 값이 크고, $0<a<1$ 이면 그 반대다.

“서로 역함수”라는 말이 그림으로 무엇인지 아래에서 보세요. 두 그래프 위의 점이 좌표를 맞바꾼 짝으로 이어져 있고, 그래서 직선 $y = x$ 에 대해 대칭입니다. 정의역과 치역이 서로 뒤바뀌는 것도 같은 이유입니다. 밑 $a$ 를 $1$ 아래로 내려 보세요. 두 곡선이 동시에 감소로 뒤집힙니다. $a = 1$ 에 두면 왜 정의에 $a \ne 1$ 이 붙어 있는지도 나옵니다.

밑 a = 2 지수 x = 3/2

밑은 2 이고 증가함수입니다. 지수함수 위의 점 1.5, 2.828 와 로그함수 위의 점 2.828, 1.5 는 직선 y = x 에 대해 서로 대칭입니다.

완료로 두면 대수 지수·로그와 수열 목차에 표시됩니다.