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수학적 귀납법

모든 자연수에서 성립하는 명제를 증명하는 방법인 수학적 귀납법의 두 단계 원리를 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

계산이 거의 없는 단원이라 배점은 전부 서술의 짜임에 있다. 두 단계를 모두 썼는지, 그리고 계승 단계에서 가정을 어디에 썼는지가 채점표의 항목이다. 식 정리보다 가정을 쓴 줄에 표시하며 쓰는 연습에 시간을 쓴다.

여기서 무너집니다

n = k + 1

을 그냥 대입해 좌변을 계산하고는 증명을 마쳤다고 여긴다. 가정을 쓰지 않았으므로 귀납법이 아니다. 가정을 형광펜으로 긋게 한다. 자기 답안에서

p (k)

를 대입한 줄을 찾지 못하면 증명이 성립하지 않는다는 것을 스스로 확인한다.

확인 질문

$n = k + 1$ 을 증명할 때 $n = k$ 에서의 가정을 어느 줄에서 썼습니까? 짚어 보세요.

특정 줄을 손으로 짚으면 통과. 짚지 못하면 계산만 한 것이니, 그 줄이 없으면 왜 증명이 아닌지를 도미노에 비유해 다시 세운다.

개요

“모든 자연수 $n$ 에서 성립한다”를 어떻게 증명할까? 자연수는 무한히 많으니 하나씩 확인할 수는 없다. 수학적 귀납법은 도미노처럼 생각한다: 첫 번째가 넘어지고, 어느 하나가 넘어지면 반드시 다음도 넘어진다면, 결국 모두 넘어진다. 수열의 일반항이나 합의 공식을 증명하는 강력한 도구다.

핵심 사실

정의

수학적 귀납법의 두 단계: 자연수 $n$ 에 대한 명제 $p(n)$ 이 모든 자연수에서 참임을 보이려면,

(1) 출발: $n=1$ 일 때 $p(1)$ 이 참임을 보인다.
(2) 계승: $n=k$ 일 때 $p(k)$ 가 참이라고 가정하면, $n=k+1$ 일 때 $p(k+1)$ 도 참임을 보인다.
두 단계가 모두 성립하면 $p(n)$ 은 모든 자연수 $n$ 에서 참이다.
핵심 아이디어: (2)에서 $p(k)$ 가 참이라는 가정을 실제로 사용해 $p(k+1)$ 을 이끌어내는 것이 관건이다.

1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

위 같은 합의 공식을 귀납법으로 증명할 때, $n=k$ 까지의 합에 $(k+1)$ 을 더해 $n=k+1$ 꼴을 만든다.

완료로 두면 대수 지수·로그와 수열 목차에 표시됩니다.