이 페이지 목차 8개
  1. 개요
  2. 핵심 사실
  3. 비교표
  4. 시험 포인트
  5. 예제
  6. 확인 문제
  7. 이어서 보기
  8. 완료
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삼각함수의 기본 관계

단위원 위의 점이라는 사실 하나가 sin²θ + cos²θ = 1 이라는 항등식을 만든다.

가르칠 때 짚을 것 교사용
시험에 나오는 것
항등식 자체는 한 줄이다. 배점은 제곱근을 벗길 때 부호를 고르는 자리다. 하나로 를 구하는 문항은 사분면 조건을 읽지 않으면 반드시 틀린다. 식 변형보다 부호를 정하는 근거를 한 줄로 쓰는 연습에 시간을 쓴다.
여기서 무너집니다
에서 제곱근을 벗기며 양수만 취한다. 중학에서 근호가 양수였던 기억이 남아서다. 두 값을 모두 적어 놓게 한 뒤 조건으로 하나를 지우게 한다. 지우는 근거를 손으로 쓰게 하면 사분면 조건을 읽지 않고 넘어갈 수 없다.
확인 질문

가 둔각이고 일 때 는 얼마입니까? 부호를 어떻게 정했습니까?

와 함께 "둔각은 제2사분면이라 좌표가 음수"가 나오면 통과. 라 하면 조건을 읽지 않은 것이니, 삼각방정식으로 넘어가기 전에 여기서 멈춘다.

개요

03에서 우리는 각 θ\theta 에 대응하는 단위원 위의 점이 (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) 임을 확인했다. 그런데 이 점은 그냥 아무 점이 아니라 반지름이 11 인 원 위에 있는 점이다. 바로 그 사실(단위원 위에 있다는 사실) 자체가 삼각함수 사이의 새로운 관계식을 만들어 낸다. 좌표를 원의 방정식에 넣기만 하면 항등식이 저절로 나온다.

핵심 사실

정의

기본 관계식: 단위원 위의 점 (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) 는 원의 방정식 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 을 만족한다. 좌표를 대입하면 곧바로 다음 항등식이 된다.

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
  • 사인·코사인에서 탄젠트로: 01에서 이미 확인했듯이 탄젠트는 사인과 코사인의 비다. 분모가 cos⁡θ\cos\theta 이므로 이 식은 cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0 일 때만, 곧 θ≠π2+nπ\theta \ne \dfrac{\pi}{2} + n\pi(nn 은 정수)일 때만 뜻이 있다. 03에서 tan⁡θ\tan\theta 의 그래프가 그 각들에서 끊겼던 것이 바로 이 조건이다.
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ(cos⁡θ≠0)\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \ne 0)
  • 세 번째 관계식: 위 두 관계식을 조합하면 하나가 더 나온다. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 의 양변을 cos⁡2θ\cos^2\theta 로 나누면 다음을 얻는다. 나누는 수가 00 이면 안 되므로 여기서도 cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0 이라는 조건이 그대로 따라붙는다.
1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ(cos⁡θ≠0)1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} \qquad (\cos\theta \ne 0)
  • 하나만 알면 나머지가 나온다: 이 관계식들 덕분에 삼각비 하나만 알아도 나머지를 계산으로 구할 수 있다. 아래 스테퍼로 기본 관계식이 단위원에서 어떻게 나오는지 한 단계씩 확인해 보자.

단위원 위의 점이라는 사실 하나에서 출발하면, 기본 관계식이 어떻게 저절로 따라 나오는지 자연스럽게 드러납니다. 아래에서 한 단계씩 따라가 보세요.

반지름 1인 단위원 위의 점 (x, y)는 이 식을 만족한다.

1 / 3 단계

완료로 두면 대수 삼각함수 목차에 표시됩니다.