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삼각함수의 활용

직각이 아닌 일반 삼각형에서도 변과 각을 구할 수 있게 해 주는 사인법칙과 코사인법칙을 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

두 법칙의 식은 짧다. 배점은 어느 법칙을 고르는가다. 두 변과 낀각이면 코사인, 한 변과 두 각이면 사인이다. 식 암기보다 주어진 조건을 보고 법칙을 고르는 판단에 시간을 몰아 준다.

여기서 무너집니다

코사인법칙에서 각과 변의 짝을 어긋나게 쓴다. 식의 좌변부터 쓰게 한다. 구하려는 변을

a

로 놓으면 각

A

는 그 맞은편으로 자동으로 정해진다. 각을 먼저 고르지 말고 변을 먼저 정하는 순서로 바꾸면 짝이 어긋나지 않는다.

확인 질문

코사인법칙 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ 에서 각 $A$ 는 어느 각입니까? $A = 9 0^{\circ}$ 이면 식이 무엇이 됩니까?

" $a$ 의 맞은편"과 피타고라스 정리가 함께 나오면 통과. 직각일 때 되돌아가는 것을 보면 코사인법칙이 피타고라스의 확장이라는 것이 남아, 두 법칙을 따로 외우지 않는다.

개요

앞에서 배운 삼각비는 직각삼각형이 있어야 쓸 수 있었다. 하지만 세상의 삼각형이 모두 직각은 아니다. 사인법칙과 코사인법칙은 어떤 삼각형에서든 변과 각의 관계를 알려 준다. 이 두 법칙 덕분에 측량·항해·천문에서 직접 잴 수 없는 거리와 각을 계산할 수 있다.

02 이후로 각은 라디안으로 적어 왔지만, 이 소단원처럼 도형의 변과 각을 다루는 문제에서는 도(°)를 그대로 쓰는 것이 교과서에서도 일반적이고 계산에도 편하다. 삼각형의 내각의 합이 $180°$ 라는 사실을 늘 쓰기 때문이다. 그래서 아래에서는 $60°$ , $120°$ 처럼 도로 적는다. 라디안과 어느 쪽이 옳고 그른 것이 아니라, 상황에 맞는 표기를 고르는 것이다.

핵심 사실

삼각형 $ABC$ 에서 각 $A, B, C$ 의 대변을 각각 $a, b, c$ 라 하고, 외접원의 반지름을 $R$ 이라 하자.

정의

사인법칙: 변과 그 대각의 사인의 비가 일정하며, 그 값은 외접원 지름과 같다.

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

코사인법칙: 두 변과 그 낀각을 알 때 나머지 한 변을 구한다.

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

활용 기준: 각과 그 대변의 짝을 알면 사인법칙, 두 변과 낀각(또는 세 변)을 알면 코사인법칙을 쓴다.
삼각형의 넓이: 두 변과 낀각으로 $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$ .

사인법칙과 코사인법칙은 따로 만든 공식이 아닙니다. 둘 다 삼각형에 보조선 하나를 긋는 데서 나옵니다. 한 꼭짓점에서 내린 같은 높이를 두 방향으로 쓰면 사인법칙이 되고, 그 수선으로 삼각형을 직각삼각형 둘로 가른 뒤 오른쪽 것에 피타고라스 정리를 쓰면 코사인법칙이 됩니다. 아래 스테퍼에서 프리셋을 바꿔 두 유도를 나란히 놓고 보세요. 코사인법칙 쪽 마지막 단계에서 $A = 90^\circ$ 를 넣어 보면 피타고라스 정리로 되돌아갑니다.

h = b sin A = a sin B

C 에서 AB 에 높이를 내리고 그 길이를 두 방향으로 읽는다. 왼쪽 직각삼각형에서는 b sin A, 오른쪽 직각삼각형에서는 a sin B 다.

1 / 4 단계

공식 사전에서도 두 법칙을 따로 볼 수 있습니다. 사인법칙 과 코사인법칙 에 각각 유도 삽화와 흔한 실수가 붙어 있습니다.

완료로 두면 대수 삼각함수 목차에 표시됩니다.