수1 삼각함수

개요

unit4 피타고라스 정리에서 우리는 직각삼각형 세 변의 관계를 $c^2 = a^2 + b^2$ 로 다뤘다. 세 변의 길이가 서로 얽혀 있다는 사실을 알게 된 셈이다. 이번엔 한 걸음 더 나아가, 그 세 변의 비율에 이름을 붙여 본다. 직각삼각형은 한 각의 크기만 정해지면 세 변의 비율이 항상 같게 유지된다. 그래서 각 하나만 알아도 변의 길이 사이의 관계를 알 수 있는데, 이 비율에 붙인 이름이 바로 삼각비다.

핵심 사실

• 삼각비의 정의: 직각삼각형에서 기준각 $\theta$ 를 정하면, 세 변을 각 $\theta$ 를 마주 보는 대변, $\theta$ 에 붙어 있는 밑변, 직각을 마주 보는 빗변으로 나눈다. 이 세 변의 비율에 이름을 붙인 것이 삼각비다.

$$\sin\theta = \dfrac{\text{대변}}{\text{빗변}}, \qquad \cos\theta = \dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}, \qquad \tan\theta = \dfrac{\text{대변}}{\text{밑변}}$$

• 탄젠트는 따로 외울 필요가 적다: 사인과 코사인을 알면 탄젠트는 그 비로 바로 나온다.

$$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

$\dfrac{\text{대변}}{\text{빗변}} \div \dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$ 을 계산하면 빗변이 약분되어 $\dfrac{\text{대변}}{\text{밑변}}$ 이 남기 때문이다. 그래서 탄젠트를 따로 외울 부담이 준다.

• 특수각의 삼각비: $30°$, $45°$, $60°$ 세 각의 삼각비 값은 시험과 계산에 자주 쓰이므로, 아래 비교표로 정리해 두고 익혀 둔다.

비교표

각 $\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

시험 포인트

• 대변·밑변은 기준각의 위치에 따라 달라진다. 같은 직각삼각형이라도 어느 각을 $\theta$ 로 삼느냐에 따라 대변과 밑변이 서로 바뀌므로, 삼각비를 구하기 전에 기준각부터 확인해야 한다.
• $\tan\theta$ 는 $\sin\theta \div \cos\theta$ 로 유도할 수 있다. 세 값을 따로 외우기보다 사인과 코사인에서 탄젠트를 끌어내면 외울 부담이 줄고 실수도 줄어든다.
• $30°$ 와 $60°$ 는 사인·코사인 값이 서로 자리를 바꾼 관계(여각 관계)다. $\sin 30° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$, $\cos 30° = \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 로, 한쪽을 알면 다른 쪽도 바로 안다.
• $\tan 45° = 1$ 은 대변과 밑변의 길이가 같은($45°$ 인 직각이등변삼각형) 데서 온다. 특수각 중 값이 가장 단순하니 기준점으로 삼아 두면 좋다.

개요

01에서 다룬 삼각비는 $0°$ 와 $90°$ 사이의 각만 다뤘다. 하지만 각은 원래 $360°$ 를 넘어서도, 음의 방향으로도 얼마든지 커질 수 있다. 시계 방향으로 두 바퀴 반을 돌았다면 그 각을 어떻게 적을까? 이번 소단원은 먼저 이렇게 회전으로서의 각, 곧 일반각을 정리한다.

그 다음엔 각을 재는 단위 자체를 바꾼다. 도(°)는 원을 $360$ 등분한 임의의 단위일 뿐이라 $360$ 이라는 숫자가 계속 공식에 끼어든다. 반지름과 호의 길이 자체를 기준으로 각을 재면 이 숫자가 사라지는데, 이렇게 정의한 각의 단위가 라디안이고 이 측정법을 호도법이라 한다. 호도법을 쓰면 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식이 곱셈 하나로 간단해지고, 나중에 미적분에서 $\sin x$ 를 미분할 때도 라디안이 아니면 공식이 지저분해진다. 지금 익히는 라디안이 그 밑준비다.

핵심 사실

• 일반각: 시작선(시초선)에서 각 $\theta$ 만큼 회전한 위치를 나타내는 반직선을 동경이라 한다. 동경은 한 바퀴($360°$) 돌면 제자리로 돌아오므로, 같은 동경을 나타내는 각은 무수히 많다. $360°$ 의 정수배만큼 차이 나는 각을 모두 묶어 일반각이라 부른다.

$$360° \times n + \theta \qquad (n \text{은 정수},\ 0° \le \theta < 360°)$$

여기서 $n$ 이 정수라는 조건을 놓치면 안 된다. $n$ 을 소수나 분수로 잘못 넣으면 전혀 다른 동경이 나온다.

• 동경이 있는 사분면: 동경이 $x$ 축, $y$ 축 위에 있지 않으면 제1~4사분면 중 하나에 속한다. 이때 $\theta$ 는 일반각 $360° \times n + \theta$ 의 $\theta$ 만 보고 사분면을 판정하면 된다 — $n$ 은 몇 바퀴를 더 돌았는지만 나타낼 뿐, 동경의 최종 위치에는 영향을 주지 않는다.

• 호도법의 정의: 반지름 $r$ 인 원에서, 길이가 반지름과 같은 호($=r$)에 대한 중심각의 크기를 $1$ 라디안이라 정의한다. 중심각과 호의 길이는 비례하므로, 중심각이 라디안이라는 단위 하나로 정해지면 호의 길이는 반지름의 몇 배인지가 그대로 계산된다.

• 도와 라디안의 환산: 반지름 $r$ 인 원의 둘레는 $2\pi r$ 이고, 이는 반지름 길이 $r$ 짜리 호가 $2\pi$ 개 들어간 것과 같다. 그래서 한 바퀴($360°$)는 $2\pi$ 라디안이다.

$$180° = \pi \ \text{(라디안)}$$

이 한 줄만 기억하면 나머지는 비례식으로 다 나온다. 도를 라디안으로 바꿀 때는 $\dfrac{\pi}{180}$ 을 곱하고, 라디안을 도로 바꿀 때는 $\dfrac{180}{\pi}$ 를 곱한다.

• 특수각의 라디안 표기: $180° = \pi$ 를 기준으로 자주 쓰는 각을 라디안으로 바꿔 두면 아래 비교표처럼 정리된다. 라디안은 보통 단위를 생략하고 $\pi$ 가 붙은 수 자체로 적는다.

• 부채꼴의 호의 길이와 넓이: 반지름 $r$, 중심각 $\theta$(라디안)인 부채꼴에서, 호의 길이 $l$ 은 중심각에 정비례하고 넓이 $S$ 는 원 전체 넓이에서 중심각이 차지하는 비율만큼이다.

$$l = r\theta, \qquad S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl$$

두 공식 모두 $\theta$ 가 라디안일 때만 성립한다. 도 단위 각을 그대로 넣으면 값이 완전히 틀어진다.

비교표

도(°)	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
라디안	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

시험 포인트

• 환산에서 $\pi$ 와 $180$ 의 자리를 뒤바꾸는 실수가 가장 잦다. 도를 라디안으로 바꿀 땐 $\dfrac{\pi}{180}$ 을 곱하고 라디안을 도로 바꿀 땐 $\dfrac{180}{\pi}$ 를 곱하는데, 이 둘을 헷갈리면 값이 완전히 어긋난다. $180° = \pi$ 하나만 정확히 기억하고 그때그때 비례식을 세우는 편이 외우는 것보다 안전하다.
• $l = r\theta$, $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ 에 도 단위 각을 그대로 대입하는 실수. 이 두 공식은 $\theta$ 가 라디안일 때만 성립한다. 문제에 각이 $°$ 로 주어졌다면 반드시 라디안으로 바꾼 다음 대입해야 한다.
• 부채꼴 넓이에서 $\dfrac{1}{2}$ 을 빠뜨리는 실수. $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ 를 $S = r^2\theta$ 로 잘못 쓰면 넓이가 두 배로 커진다. $S = \dfrac{1}{2}rl$ 로도 같이 기억해 두면, 삼각형 넓이 공식과 닮은 꼴이라 덜 헷갈린다.
• 일반각에서 $n$ 이 정수라는 조건을 놓치는 실수. $360° \times n + \theta$ 의 $n$ 은 반드시 정수이고, 이 조건이 없으면 애초에 “일반각”이라는 표현 자체가 의미를 잃는다. 서술형에서 이 조건을 빠뜨리면 감점 대상이다.

개요

01에서 배운 삼각비는 직각삼각형 안에서만 뜻이 통했다. 직각삼각형의 한 예각을 기준으로 정의했으니, $0°$ 와 $90°$ 사이의 각에서만 쓸 수 있었던 셈이다. 그런데 반지름이 $1$ 인 단위원을 쓰면 이야기가 달라진다. 각을 회전으로 보면 $0°$ 를 넘어 $360°$ 를 지나 어떤 각으로도 삼각비의 정의를 넓힐 수 있다. 이렇게 모든 각으로 확장한 것이 삼각함수다.

핵심 사실

• 단위원 위 점의 좌표가 곧 정의다: 단위원 위에서 시작선으로부터 각 $\theta$ 만큼 회전한 점의 좌표가 정확히 $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ 다. 이것이 삼각함수의 진짜 정의이며, 직각삼각형에서 정의한 삼각비는 예각일 때 이 정의와 그대로 일치한다.

$$\text{단위원 위의 점}: \quad (x,\ y) = (\cos\theta,\ \sin\theta)$$

아래 단위원에서 점을 직접 끌어 보세요. 점의 $x$ 좌표가 $\cos\theta$, $y$ 좌표가 $\sin\theta$ 입니다 — 두 값은 새로 외울 대상이 아니라 원 위 한 점의 좌표일 뿐입니다. 각을 $90°$ 를 넘겨 계속 돌리면 좌표의 부호가 사분면마다 바뀌는 것도, $360°$ 를 지나면 같은 자리로 돌아와 값이 되풀이되는 것도 그대로 보입니다.

특수각 30°제2사분면 120°tan 이 끊기는 90°

cos 30° = 0.866 = √3/2 sin 30° = 0.500 = 1/2 tan 30° = 0.577

sin²30° + cos²30° = 1.000 — 각을 어디로 옮겨도 1

각 θ (도)

θ = 30° = π/6 · 제1사분면

• 주기함수다: $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 는 각이 $360°$ 늘어날 때마다 같은 값으로 되풀이된다. 이렇게 일정 간격마다 값이 반복되는 함수를 주기함수라 하고, 반복 간격을 주기라 한다. 두 함수의 주기는 $360°$ 이고, 값의 범위(치역)는 $-1$ 이상 $1$ 이하, 곧 $[-1,\ 1]$ 이다.
• 그래프 모양: $y = \sin\theta$ 는 $\theta = 0$ 에서 $0$ 부터 시작해 오르내리는 파동이다. $y = \cos\theta$ 는 $\theta = 0$ 에서 최댓값 $1$ 로 시작하는 파동으로, 사인과 같은 모양의 파동을 옆으로 민 형태다.
• 탄젠트는 다르다: $y = \tan\theta$ 는 주기가 $180°$ 로 더 짧고, $\cos\theta = 0$ 이 되는 지점($90°$, $270°$ 등)에서는 분모가 $0$ 이 되어 값이 정의되지 않는다. 그래서 그래프가 그 지점에서 끊긴다.

비교표

함수	주기	치역
$\sin\theta$	$360°$	$[-1,\ 1]$
$\cos\theta$	$360°$	$[-1,\ 1]$
$\tan\theta$	$180°$	모든 실수

시험 포인트

• 사분면에 따라 좌표의 부호가 바뀌므로 $\sin\theta$, $\cos\theta$ 의 부호도 사분면마다 달라진다. 제1사분면은 둘 다 양수, 제2사분면은 $\sin\theta$ 만 양수($\cos\theta$ 는 음수), 제3사분면은 둘 다 음수, 제4사분면은 $\cos\theta$ 만 양수다.
• 주기를 $360°$ 와 $180°$ 로 혼동하지 않는다. $\sin\theta$, $\cos\theta$ 의 주기는 $360°$ 이고, $\tan\theta$ 의 주기만 $180°$ 다.
• $\cos 0° = 1$ 이지 $0$ 이 아니다. 코사인 그래프의 시작점은 원점이 아니라 최댓값 $1$ 이라는 점을 착각하지 말자. $\sin 0° = 0$ 과 헷갈리기 쉽다.
• $\tan\theta$ 가 정의되지 않는 각($90°$, $270°$ 등)을 잊지 않는다. $\cos\theta = 0$ 인 곳이 바로 그 지점이다.

개요

03에서 $y=\sin\theta,\ y=\cos\theta,\ y=\tan\theta$ 의 가장 단순한 그래프를 확인했다. 계수가 모두 $1$ 인 경우였다. 그런데 실제 문제에 나오는 삼각함수는 이렇게 순수한 모습으로 나오는 경우가 드물고, 대부분 $y=a\sin(bx+c)+d$ 처럼 늘어나거나 밀린 모습으로 나온다. (이제부터 각은 라디안으로 쓴다. 필요할 땐 도(°)도 함께 적는다.)

이 소단원에서는 $a,\ b,\ c,\ d$ 네 계수가 그래프를 각각 어떻게 바꾸는지 정리한다. $a$ 는 그래프를 세로로 늘이거나 줄이고, $b$ 는 가로로 압축하거나 늘여 주기를 바꾸고, $c$ 는 좌우로, $d$ 는 상하로 그래프를 민다. 네 계수의 역할을 정확히 구분해 두면 그래프를 직접 그리지 않고도 식만 보고 최댓값·최솟값·주기를 곧바로 읽어낼 수 있고, 이는 뒤에서 삼각방정식이나 활용 문제를 다룰 때 그래프로 상황을 확인하는 밑바탕이 된다.

핵심 사실

• 진폭 $|a|$: $y=a\sin(bx+c)+d$ 의 그래프는 $y=\sin\theta$ 그래프를 $y$ 축 방향으로 $|a|$ 배 늘인 것이다. 늘어난 정도를 나타내는 진폭은 항상 $0$ 이상이므로 절댓값으로 잡는다. $a<0$ 이면 그래프가 위아래로 뒤집히지만, 늘어난 폭 자체는 여전히 $|a|$ 다.
• 주기 $\dfrac{2\pi}{|b|}$: $x$ 앞의 계수 $b$ 는 그래프를 가로로 $\dfrac{1}{|b|}$ 배 압축(또는 확대)한다. 기본 주기 $2\pi$(도로는 $360°$)를 $|b|$ 로 나눈 값이 새 주기다.

$$\text{주기} = \frac{2\pi}{|b|}$$

• 좌우 평행이동 $-\dfrac{c}{b}$: $bx+c$ 를 $b$ 로 묶으면 $b\left(x+\dfrac{c}{b}\right)$ 가 되므로, 그래프는 $y=\sin(bx)$ 를 $x$ 축 방향으로 $-\dfrac{c}{b}$ 만큼 옮긴 것이다. $c$ 를 $b$ 로 나누지 않고 그대로 이동량으로 쓰면 안 된다.
• 상하 평행이동 $d$: $d$ 를 더하면 그래프의 모양은 그대로 두고 $y$ 축 방향으로 $d$ 만큼만 옮긴다. 진폭·주기·좌우 이동과 달리 그래프의 폭이나 굴곡에는 영향을 주지 않는다.
• 최댓값과 최솟값: 늘이고 민 결과, 그래프는 $d$ 를 기준으로 위아래 $|a|$ 만큼 오르내린다.

$$\text{최댓값} = |a|+d, \qquad \text{최솟값} = -|a|+d$$

• $\tan$ 은 주기가 다르다: $y=\tan(bx+c)+d$ 의 주기는 $\dfrac{\pi}{|b|}$ 다. $\tan$ 그래프는 $\pi$(도로는 $180°$)마다 반복되는 더 촘촘한 파동이라서, 사인·코사인의 절반 간격만 지나도 같은 모양이 되풀이된다. 또한 $\tan$ 은 치역이 모든 실수라 진폭이라는 개념 자체가 없다.

비교표

계수	그래프에 주는 효과
$a$	세로로 $\lvert a\rvert$ 배(진폭), 음수면 상하 반전
$b$	가로로 $\dfrac{1}{\lvert b\rvert}$ 배 (주기 $=\dfrac{2\pi}{\lvert b\rvert}$)
$c$	$x$ 축 방향으로 $-\dfrac{c}{b}$ 만큼 평행이동
$d$	$y$ 축 방향으로 $d$ 만큼 평행이동

함수	주기
$y=a\sin(bx+c)+d$, $y=a\cos(bx+c)+d$	$\dfrac{2\pi}{\lvert b\rvert}$
$y=a\tan(bx+c)+d$	$\dfrac{\pi}{\lvert b\rvert}$

시험 포인트

• 주기를 $2\pi b$ 로 쓰는 실수가 가장 잦다. 주기 공식은 $2\pi$ 를 $|b|$ 로 나눈 값이지, 곱한 값이 아니다. $b$ 가 커질수록 그래프는 옆으로 촘촘해지므로(주기가 짧아지므로) 나눗셈이라는 사실이 자연스럽다.
• $a<0$ 일 때 진폭을 음수로 쓰면 안 된다. 진폭은 늘어난 정도를 재는 양이라 부호와 무관하게 항상 $|a|$ 다. $a$ 의 부호는 반전 여부만 결정할 뿐 진폭의 크기와는 상관이 없다.
• $\sin(bx+c)$ 의 좌우 이동을 $-c$ 로 계산하는 실수가 많다. $b$ 로 묶지 않고 $c$ 값을 그대로 이동량으로 쓴 것이다. 실제 이동량은 $b$ 로 나눈 $-\dfrac{c}{b}$ 다. $b=1$ 일 때만 우연히 $-c$ 와 같아진다.
• 최댓값을 $a+d$ 로 외우면 $a<0$ 일 때 틀린다. $a=-4,\ d=2$ 라면 최댓값은 $a+d=-2$ 가 아니라 $|a|+d=6$ 이다. 최댓값·최솟값은 항상 $|a|$ 를 기준으로 계산해야 한다.
• $\tan$ 에 $\sin,\cos$ 의 주기 공식을 그대로 쓰면 안 된다. $\tan$ 의 주기는 $\dfrac{\pi}{|b|}$ 로, 사인·코사인 주기의 절반이다.
• 그래프가 최댓값을 지나는 자리, 최솟값을 지나는 자리, $x$ 절편은 좌우 평행이동량 $-\dfrac{c}{b}$ 를 기준으로 주기의 $\dfrac14$ 씩 어긋나며 나타난다. 위치를 하나씩 대입해 확인하는 습관을 들이면 실수가 준다.

개요

02에서 우리는 각 $\theta$ 에 대응하는 단위원 위의 점이 $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ 임을 확인했다. 그런데 이 점은 그냥 아무 점이 아니라 반지름이 $1$ 인 원 위에 있는 점이다. 바로 그 사실 — 단위원 위에 있다는 사실 자체 — 가 삼각함수 사이의 새로운 관계식을 만들어 낸다. 좌표를 원의 방정식에 넣기만 하면 항등식이 저절로 나온다.

핵심 사실

• 기본 관계식: 단위원 위의 점 $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ 는 원의 방정식 $x^2 + y^2 = 1$ 을 만족한다. 좌표를 대입하면 곧바로 다음 항등식이 된다.

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

• 사인·코사인에서 탄젠트로: 01에서 이미 확인했듯이 탄젠트는 사인과 코사인의 비다.

$$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

• 세 번째 관계식: 위 두 관계식을 조합하면 하나가 더 나온다. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 의 양변을 $\cos^2\theta$ 로 나누면 다음을 얻는다.

$$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$$

• 하나만 알면 나머지가 나온다: 이 관계식들 덕분에 삼각비 하나만 알아도 나머지를 계산으로 구할 수 있다. 아래 스테퍼로 기본 관계식이 단위원에서 어떻게 나오는지 한 단계씩 확인해 보자.

단위원 위의 점이라는 사실 하나에서 출발하면, 기본 관계식이 어떻게 저절로 따라 나오는지 자연스럽게 드러납니다. 아래에서 한 단계씩 따라가 보세요.

$$x^2+y^2=1$$

반지름 1인 단위원 위의 점 (x, y)는 이 식을 만족한다.

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1 / 3 단계

비교표

관계식	언제 쓰나
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$	사인·코사인 중 하나를 알 때 나머지를 구할 때
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$	사인·코사인에서 탄젠트를 끌어낼 때
$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$	탄젠트를 알 때 코사인을 구하거나 그 반대일 때

시험 포인트

• $\sin^2\theta$ 는 $\sin(\theta^2)$ 이 아니라 $(\sin\theta)^2$ 이다. $\sin\theta$ 를 먼저 구하고 그 값을 제곱한다는 뜻이니, 표기 순서에 속지 말자.
• $\sin\theta$ 값만으로 $\cos\theta$ 를 구할 때는 예각인지 둔각인지에 따라 부호를 정해야 한다. $\cos^2\theta$ 를 구하면 양수·음수 두 값이 모두 나오는데, 각이 놓인 조건으로 그중 하나를 골라야 한다.
• $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ 는 $\theta$ 값과 무관하게 항상 $1$ 이다. 어떤 각을 넣어도 결과가 $1$ 이므로, 이 꼴이 보이면 계산할 필요 없이 바로 $1$ 로 답한다.

개요

05에서 우리는 각 $\theta$ 가 무엇이든 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 이 항상 성립한다는 항등식을 확인했다. 이번에는 반대 방향의 질문을 다룬다. $\sin\theta=\dfrac12$ 처럼 삼각함수의 값이 특정 수로 주어졌을 때, 그 값을 만들어 내는 각 $\theta$ 를 거꾸로 찾는 것 — 이것이 삼각방정식이다.

삼각함수는 03에서 보았듯이 주기함수다. 그래서 각의 범위를 정해 주지 않으면 해가 끝없이 많아진다. 시험 문제는 보통 $0° \le \theta < 360°$ 처럼 구간을 정해 주는데, 그 구간 안에서도 단위원이나 그래프를 한 바퀴 훑어보면 해가 하나가 아니라 여러 개 나오는 경우가 대부분이다.

여기에 05의 항등식을 더하면 더 복잡한 방정식도 풀 수 있다. $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 가 섞여 있으면 한 종류로 통일한 뒤 문자 하나로 치환해 이차방정식으로 바꾸는 것이다. 그리고 등식의 해를 구할 줄 알면 부등식도 어렵지 않다 — 등식의 해로 구간을 나눈 뒤, 그래프에서 부등호를 만족하는 쪽을 읽으면 된다.

핵심 사실

• 삼각방정식과 구간: 삼각방정식은 $\sin\theta=k$ 처럼 삼각함수 값이 주어진 방정식이다. 삼각함수는 주기함수이므로 각의 범위(예: $0° \le \theta < 360°$)를 정해 주고 그 안에서 해를 모두 찾는다.
• 단위원 또는 그래프에서 해 찾기: $\sin\theta=k$ 는 단위원에서 $y$ 좌표가 $k$ 인 점을, $\cos\theta=k$ 는 $x$ 좌표가 $k$ 인 점을 찾는 것과 같다. 한 구간 안에 그런 점이 두 개 있으면 해도 두 개다.

아래 단위원에서 두 프리셋을 눌러 보세요. $\sin\theta=\dfrac12$ 를 만족하는 각이 $30°$ 하나가 아니라 $150°$ 에도 있다는 것이, $y$ 좌표가 같은 두 점으로 그대로 보입니다.

해 1: 30°해 2: 150°

cos 30° = 0.866 = √3/2 sin 30° = 0.500 = 1/2 tan 30° = 0.577

sin²30° + cos²30° = 1.000 — 각을 어디로 옮겨도 1

각 θ (도)

θ = 30° = π/6 · 제1사분면

• 한 종류로 통일하고 치환한다: $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 가 뒤섞인 방정식은 05의 관계식으로 한쪽을 다른 쪽으로 바꿔 한 종류로 통일한다. 그 다음 $t$ 로 치환하면 낯익은 이차방정식이 된다.

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \;\Rightarrow\; \cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$$

• 치환한 변수의 범위를 반드시 확인한다: $\sin\theta$, $\cos\theta$ 는 항상 $-1 \le t \le 1$ 이다. 이차방정식의 근 중에는 이 범위를 벗어나는 값이 나올 수 있고, 그런 근은 대응하는 $\theta$ 가 존재하지 않으므로 버려야 한다.
• 삼각부등식은 등식부터 푼다: $\sin\theta > k$ 같은 부등식은 먼저 등호로 바꿔 경계각을 구한다. 그 다음 그래프(또는 단위원)에서 부등호의 방향에 맞는 구간을 읽는다. 등호가 있는 부등식($\ge$, $\le$)이면 경계각을 포함하고, 없는 부등식($>$, $<$)이면 제외한다.

비교표

방정식($k>0$인 경우)	$0° \le \theta < 360°$ 에서 해가 있는 사분면
$\sin\theta = k$	제1사분면, 제2사분면
$\cos\theta = k$	제1사분면, 제4사분면
$\tan\theta = k$	제1사분면, 제3사분면

단계	방정식 $\sin\theta = k$	부등식 $\sin\theta > k$
1	단위원(그래프)에서 값이 $k$ 인 각을 찾는다	먼저 등식 $\sin\theta=k$ 의 해(경계각)부터 찾는다
2	그 각이 곧 해다	경계각 사이에서 그래프가 $k$ 보다 큰 구간을 고른다
3	—	부등호에 등호가 없으면 경계각은 제외한다

시험 포인트

• 구간 안의 해를 하나만 찾고 끝내는 것이 가장 잦은 실수다. 예각 하나를 구했다고 멈추지 말고, 주어진 구간을 단위원이나 그래프로 한 바퀴 다 훑어 대칭인 다른 해가 더 있는지 반드시 확인한다.
• $t=\sin\theta$(또는 $\cos\theta$)로 치환해 이차방정식을 풀었다면, 근을 구한 뒤 바로 $-1 \le t \le 1$ 인지부터 확인한다. 범위를 벗어난 근을 그대로 답에 남기면 존재하지 않는 각을 답으로 쓰는 셈이다.
• 부등식에서 등호 포함 여부를 놓치는 실수가 잦다. $\ge$, $\le$ 는 경계각을 포함하고 $>$, $<$ 는 제외하는데, 이를 확인하지 않고 습관적으로 한쪽으로만 쓰면 경계에서 오답이 된다.
• $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 의 부호를 사분면별로 혼동하면 해가 있는 사분면 자체를 잘못 고른다. $\sin$ 이 양수인 곳(제1·2사분면)과 $\cos$ 이 양수인 곳(제1·4사분면)은 서로 다르다.
• $\tan\theta$ 가 포함된 방정식·부등식은 $\cos\theta=0$ 인 $90°$, $270°$ 에서 그래프가 끊긴다는 것을 잊으면 안 된다. 그 지점을 구간에 포함시키거나 이어진 구간으로 착각하지 않도록 한다.

개요

앞에서 배운 삼각비는 직각삼각형이 있어야 쓸 수 있었다. 하지만 세상의 삼각형이 모두 직각은 아니다. 사인법칙과 코사인법칙은 어떤 삼각형에서든 변과 각의 관계를 알려 준다. 이 두 법칙 덕분에 측량·항해·천문에서 직접 잴 수 없는 거리와 각을 계산할 수 있다.

핵심 사실

삼각형 $ABC$ 에서 각 $A, B, C$ 의 대변을 각각 $a, b, c$ 라 하고, 외접원의 반지름을 $R$ 이라 하자.

• 사인법칙: 변과 그 대각의 사인의 비가 일정하며, 그 값은 외접원 지름과 같다.

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

• 코사인법칙: 두 변과 그 낀각을 알 때 나머지 한 변을 구한다.

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

• 활용 기준: 각과 그 대변의 짝을 알면 사인법칙, 두 변과 낀각(또는 세 변)을 알면 코사인법칙을 쓴다.
• 삼각형의 넓이: 두 변과 낀각으로 $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$.

비교표

아는 정보	쓰는 법칙
한 변과 그 대각 + 다른 각/변	사인법칙
두 변과 그 낀각	코사인법칙
세 변	코사인법칙(각을 구함)

시험 포인트

• 코사인법칙에서 각 $A$ 는 반드시 구하는 변 $a$ 의 **대각(맞은편 각)**이다. 변과 각의 짝을 틀리지 않도록 한다.
• 직각삼각형($A=90^\circ$)이면 $\cos A=0$ 이라 코사인법칙이 $a^2=b^2+c^2$, 즉 피타고라스 정리로 되돌아간다.
• 세 변을 알 때는 코사인법칙을 각에 대해 정리($\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$)해 각을 구한다.