수2 미적분 입문

개요

unit6 에서 우리는 수열 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 을 다뤘다. 항이 규칙에 따라 하나씩 이어지는 그 나열이다. 이번엔 한 걸음 더 나아가, 그 수열이 $n$ 이 한없이 커질 때 어떤 값에 다가가는지를 묻는다. 다가가는 목표가 있는가, 있다면 무엇인가 — 이 물음이 미적분 전체의 출발점인 극한이다.

핵심 사실

• 수열의 극한: $n$ 이 한없이 커질 때 $a_n$ 이 어떤 일정한 값 $L$ 에 한없이 가까워지면, 이를 다음과 같이 쓴다.

$$\lim_{n \to \infty} a_n = L$$

• 함수의 극한: $x$ 가 $a$ 에 한없이 가까워질 때 $f(x)$ 가 $L$ 에 한없이 가까워지면, 다음과 같이 쓴다.

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

여기서 중요한 것은 $x = a$ 에서의 값이 아니라, $x$ 가 $a$ 에 다가가는 과정에서 $f(x)$ 가 어디로 향하는가이다.

• 극한의 계산 법칙: 극한이 존재할 때, 극한은 합·차·곱·몫으로 나누어 계산할 수 있다.

$$\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g, \qquad \lim (fg) = \lim f \cdot \lim g, \qquad \lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{\lim f}{\lim g} \ \ (\lim g \neq 0)$$

• 다항함수의 극한: 다항함수는 대개 그 점의 값을 그대로 대입하면 극한값이 나온다. 예를 들어 다음과 같다.

$$\lim_{x \to 2} (x^2 + 1) = 5$$

• $\dfrac{0}{0}$ 꼴의 처리: 대입했더니 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 되는 경우는 먼저 인수분해나 약분으로 식을 정리한 뒤 대입한다.

$$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$

비교표

구분	수열의 극한	함수의 극한
변하는 대상	자연수 $n$	실수 $x$
다가가는 목표	$n$ 이 한없이 커짐 ($n \to \infty$)	$x$ 가 $a$ 에 다가감 ($x \to a$)
표기	$\lim_{n \to \infty} a_n = L$	$\lim_{x \to a} f(x) = L$

시험 포인트

• 극한은 ”$x=a$ 에서의 함숫값”이 아니라 “다가가는 값”이다. $x=a$ 에서 함수가 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있다.
• $\dfrac{0}{0}$ 꼴을 만나면 절대 그대로 극한이 $0$ 이라 답하지 말고, 먼저 인수분해·약분으로 식을 정리한 뒤 대입한다.
• 분수의 극한은 분모의 극한이 $0$ 이 아닌지 먼저 확인한다. 분모가 $0$ 으로 가는데 분자가 $0$ 이 아니라면 몫의 법칙을 그대로 쓸 수 없다.

개요

01에서 극한 $\lim_{x\to a}f(x)$ 이 존재하는지, 존재한다면 어떤 값인지를 물었다. 그런데 극한이 존재한다고 해서 그 값이 $x=a$ 에서의 함숫값과 같다는 보장은 없다. 다가가는 값과 실제 값, 이 둘이 서로 같은지를 묻는 것이 바로 연속이다.

다항함수만 보면 이 구분이 잘 느껴지지 않는다. 다항함수는 어디서나 매끄럽게 이어져 있어서 대입만 하면 극한값도 함숫값도 같은 수가 나오기 때문이다. 그래서 연속의 뜻이 살아나는 건 오히려 구간을 나눠 정의한 함수에서다. 경계에서 두 식이 자연스럽게 이어지는지, 아니면 뚝 끊기는지를 직접 확인해야 하기 때문이다.

연속인 구간에서는 그래프가 손을 떼지 않고 이어지므로, 양 끝의 함숫값 부호만 다르면 그 사이 어딘가에서 그래프가 반드시 $x$ 축을 지난다 — 이 성질이 사잇값 정리이고, 방정식이 실근을 가짐을 보이는 강력한 도구가 된다. 다음 소단원에서 배울 미분계수 역시 극한으로 정의되므로, 그 극한이 함숫값과 이어지는지 확인하는 이 감각이 먼저 필요하다.

핵심 사실

• 연속의 정의 — 세 조건. 함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속이려면 다음 세 가지가 모두 성립해야 한다: ① $f(a)$ 가 정의됨, ② $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재함, ③ 그 둘이 같음.

$$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$

• 좌극한과 우극한이 같아야 극한이 존재한다. $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 있다고 말하려면 좌극한과 우극한이 모두 있고 서로 같아야 한다.

$$\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x)$$

구간별로 정의된 함수는 경계 $x=a$ 를 사이에 두고 좌우가 다른 식이므로, 두 극한을 따로 계산해서 같은지 맞춰 봐야 한다. 예를 들어 다음 함수가 $x=1$ 에서 연속이 되도록 상수 $k$ 를 정하는 유형이 대표적이다.

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + k & (x < 1) \\ 3x & (x \ge 1) \end{cases}$$

좌극한 $1+k$ 와, 우극한이자 $f(1)$ 인 $3$ 을 같게 놓으면 $k=2$ 를 얻는다.

• 불연속은 세 조건 중 하나만 깨져도 일어난다. 함숫값이 없거나, 극한 자체가 없거나(좌극한과 우극한이 다르거나), 극한은 있는데 함숫값과 다른 경우 — 어느 하나만 걸려도 그 점에서는 불연속이다.

• 연속함수의 성질 — 합·차·곱·몫. $f, g$ 가 $x=a$ 에서 모두 연속이면 $f+g$, $f-g$, $fg$ 도 $x=a$ 에서 연속이다. 몫 $\dfrac{f}{g}$ 는 분모가 $0$ 이 아닐 때만 연속이다. 다항함수는 모든 실수에서 연속이므로, 다항식으로 이루어진 함수의 연속 여부는 결국 분모가 $0$ 이 되는 지점만 조심하면 된다.

• 사잇값 정리. 함수 $f(x)$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f(a) \neq f(b)$ 이면, $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 모든 값 $k$ 에 대해 $f(c)=k$ 인 $c$ 가 $a$ 와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다. 특히 $f(a)f(b) < 0$ 이면 $k=0$ 인 경우이므로, 방정식 $f(x)=0$ 은 그 구간에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

비교표

상황	$\lim_{x\to a}f(x)$ 존재	$x=a$ 에서 연속
$f(a)$ 자체가 정의되지 않음	존재할 수 있음	아니오
좌극한 $\neq$ 우극한	존재하지 않음	아니오
극한값 $\neq f(a)$	존재함	아니오
세 조건 모두 성립	존재함	예

깨지는 조건	그래프의 모습
① $f(a)$ 정의 안 됨	그 점에 구멍이 뚫림
② 좌극한 $\neq$ 우극한	경계에서 뚝 뛰어오름
③ 극한값 $\neq f(a)$	그래프 위 다른 자리에 점이 동떨어짐

시험 포인트

• 극한이 존재하는 것과 연속인 것을 같은 뜻으로 착각한다. 좌극한과 우극한이 같아서 극한이 존재한다는 것까지 확인하고는 다 끝났다고 여기는 경우가 많다. 그 극한값이 $f(a)$ 와 같은지, 애초에 $f(a)$ 가 정의는 되어 있는지까지 반드시 세 번째 조건으로 확인해야 한다.
• 좌극한과 우극한을 따로 계산하지 않고 뭉뚱그린다. 구간별로 정의된 함수는 경계에서 좌우의 식이 다르므로, 한쪽 식만 대입해 놓고 그것이 전체 극한인 양 쓰면 안 된다. 두 극한을 각각 구해 같은지 맞춰봐야 한다.
• 사잇값 정리로 근의 존재만 알 수 있는데 개수나 위치까지 단정한다. $f(a)f(b)<0$ 은 그 구간 안에 실근이 적어도 하나 있다는 것만 보장한다. 그 구간에서 근이 정확히 몇 개인지, 정확히 어디에 있는지는 이 정리만으로는 알 수 없다 — 그래프가 그 사이에서 여러 번 오르내리며 $x$ 축을 여러 번 지날 수도 있다.
• 사잇값 정리를 쓰기 전에 연속이라는 전제를 확인하지 않는다. $f(a)f(b)<0$ 이라도 $f$ 가 그 구간 어딘가에서 불연속이면 그래프가 $x$ 축을 건너뛰어 버릴 수 있어 근의 존재가 보장되지 않는다. 사잇값 정리를 쓰려면 먼저 그 구간에서 연속임을 반드시 밝혀야 한다.

개요

01에서 우리는 극한 — 어떤 값에 한없이 가까워질 때 무엇에 다가가는지 — 을 배웠다. 이번엔 그 극한을 이용해 “순간적으로 변하는 정도”를 정의한다. 사실 그 씨앗은 이미 있었다. unit3 의 일차함수에서 기울기 $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 를 구했던 것을 떠올려 보자. 두 점 사이에서 $y$ 가 얼마나 변했는지를 잰 그 값이 바로 평균변화율의 첫 형태였다.

핵심 사실

• 평균변화율: 두 점 $(a, f(a))$, $(b, f(b))$ 를 잇는 직선의 기울기다.

$$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

• 미분계수: 이 구간의 폭을 한없이 좁혀 ($b \to a$, 곧 $h \to 0$) 얻는 극한이 미분계수다.

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

• 도함수: 모든 $x$ 에 대해 미분계수를 대응시키는 함수 $f'(x)$ 를 도함수라 하고, 이를 구하는 과정을 미분이라 한다.

• 다항함수의 도함수 공식(멱함수의 미분): 지수를 계수로 앞에 내리고, 지수를 하나 줄인다.

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

• 상수배·합의 미분: $(cf)' = cf'$, $(f+g)' = f' + g'$. 그리고 상수함수의 미분은 $0$ 이다(값이 변하지 않으니까).

아래 스테퍼로 $(x^n)' = nx^{n-1}$ 이 도함수의 정의에서 어떻게 나오는지 한 단계씩 따라가 보자.

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}$$

도함수의 정의에 f(x) = xⁿ 을 대입한다.

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1 / 4 단계

비교표

구분	평균변화율	미분계수
$h$	유한한 값	$h \to 0$
기하학적 의미	두 점을 잇는 할선의 기울기	한 점에서의 접선의 기울기

시험 포인트

• $(x^n)' = nx^{n-1}$ 을 적용할 때 지수를 계수로 내리는 것과 지수를 $1$ 줄이는 것을 둘 다 해야 한다. 하나만 하는 실수가 잦다.
• 상수항은 미분하면 사라진다. 그대로 남겨두지 않도록 주의한다.
• 미분계수 $f'(a)$ 는 점 하나에서의 수이고, 도함수 $f'(x)$ 는 함수다. 둘을 구분한다.

개요

02에서 우리는 미분계수 $f'(a)$ 가 곡선 위 한 점 $(a, f(a))$ 에서의 순간 기울기임을 확인했다. 그런데 직선을 하나 정하려면 무엇이 필요했던가. 기울기 하나와 지나는 점 하나면 충분했다. 이제 곡선 위의 한 점에서 기울기($f'(a)$)와 점($(a, f(a))$)을 모두 손에 쥐었으니, 그 점에서 곡선에 딱 붙는 직선 — 접선 — 의 방정식을 바로 세울 수 있다.

핵심 사실

• 접선의 기울기: 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$ 에서의 접선의 기울기는 정확히 $f'(a)$ 다.

• 접선의 방정식(점-기울기 꼴): 한 점 $(a, f(a))$ 와 기울기 $f'(a)$ 를 알 때, 접선은 다음과 같다.

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

• 예시: $f(x) = x^2$ 에서 $x = 1$ 일 때를 보자. $f'(x) = 2x$ 이므로 $f'(1) = 2$ 이고, 접점은 $(1, 1)$ 이다. 접선은 $y - 1 = 2(x - 1)$, 정리하면 다음과 같다.

$$y = 2x - 1$$

아래에서 곡선 위의 점을 직접 미끄러뜨려 보세요. 점이 움직이면 접선이 따라 기울고, 그 기울기가 곧 그 자리의 $f'(a)$ 입니다. 프리셋의 삼차함수로 바꿔 접선이 수평이 되는 자리를 찾으면, 바로 아래에서 이야기할 ”$f'(x)=0$ 인 점”을 눈으로 먼저 만나게 됩니다.

포물선 y = x²삼차함수의 극값

f(x) = x² f′(x) = 2x

접점 (1.00, 1.00) · 기울기 f′(1.00) = 2.00
접선: y = 2.00x − 1.00

접점의 x = a

• 기울기가 $0$ 인 점: 접선의 기울기가 $0$ 이 되는 점, 곧 $f'(x) = 0$ 을 만족하는 $x$ 는 그래프가 잠시 수평이 되는 지점이다. unit4 에서 본 포물선의 꼭짓점이 바로 이런 지점으로, 그곳에서 접선은 $x$ 축과 나란한 수평선이 된다.

비교표

무엇이 필요한가	어디까지 하면 되나
접선의 기울기만 필요	$f'(a)$ 를 계산하면 끝
접선의 방정식 전체가 필요	점-기울기 공식 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ 까지

시험 포인트

• 접선의 방정식은 곡선이 아니라 직선의 방정식이다. 답은 언제나 일차식 꼴로 나온다.
• $f'(a)$ 를 구할 때 대입하는 $a$ 와, 접점의 $y$ 좌표 $f(a)$ 를 혼동하지 않는다. 하나는 기울기 계산용, 하나는 지나는 점의 세로 좌표다.
• 점-기울기 공식은 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ 로, 괄호 안의 부호가 $-a$ 임을 정확히 쓴다.

개요

04에서 접선의 기울기가 $f'(a)$ 임을 확인했다. 그런데 기울기는 방향을 담고 있다. 어떤 구간에서 접선이 계속 오른쪽 위를 향한다면($f'(x) > 0$) 그 구간에서 그래프는 올라가고, 계속 오른쪽 아래를 향한다면($f'(x) < 0$) 내려간다. 곧 도함수의 부호가 그래프의 오르내림을 그대로 말해 준다.

그러면 오르다가 내려가기 시작하는 자리, 내려가다가 오르기 시작하는 자리는 어떤 곳일까. 방향이 뒤집히는 순간이니 그 자리에서 기울기는 $0$ 이다. 이 자리가 극대와 극소이고, 여기까지 오면 식만 보고도 그래프의 대략적인 모양을 그릴 수 있게 된다.

핵심 사실

• 증가와 감소의 판정: 어떤 구간에서 $f'(x) > 0$ 이면 $f(x)$ 는 그 구간에서 증가하고, $f'(x) < 0$ 이면 감소한다.
• 극값의 필요조건: 함수가 $x = a$ 에서 극값을 가지면 $f'(a) = 0$ 이다. 다항함수에서는 극값을 찾을 자리를 $f'(x) = 0$ 의 해에서 고른다.
• 극대와 극소의 판정 — 부호가 바뀌어야 한다. $f'(x)$ 가 $x = a$ 를 지나며

$$(+) \to (-) \ \text{로 바뀌면 극대}, \qquad (-) \to (+) \ \text{로 바뀌면 극소}$$

• $f'(a) = 0$ 이라고 반드시 극값인 것은 아니다. $f(x) = x^3$ 은 $f'(0) = 0$ 이지만 $f'(x) = 3x^2$ 이 $x = 0$ 의 좌우에서 모두 양수라 부호가 바뀌지 않는다. 그래서 $x = 0$ 은 극값이 아니고, 그래프는 잠시 평평해졌다가 계속 올라간다.
• 증감표를 쓴다: $f'(x) = 0$ 의 해로 수직선을 토막 내고, 각 토막에서 $f'(x)$ 의 부호를 조사해 표로 적는다. 부호를 알면 화살표($\nearrow$, $\searrow$)가 정해지고, 화살표가 꺾이는 자리가 극값이다.

아래에서 프리셋의 삼차함수로 바꾼 뒤 점을 좌우로 밀어 보세요. 접선이 오른쪽 위를 향하는 구간, 아래를 향하는 구간, 그리고 그 사이에서 접선이 수평이 되는 순간이 눈에 들어옵니다. 수평이 되는 그 자리가 바로 $f'(x)=0$ 이고, 그 좌우에서 기울기의 부호가 뒤집히면 극값입니다.

삼차함수의 극값포물선 y = x²

f(x) = x³ − 3x f′(x) = 3x² − 3

접점 (-1.00, 2.00) · 기울기 f′(-1.00) = 0.00
접선: y = 0.00x + 2.00

기울기가 0 — 접선이 수평인 이 자리가 극값입니다.

접점의 x = a

비교표

$f'(x)$ 의 부호 변화	$x=a$ 에서의 성질	그래프
$(+) \to (-)$	극대	올라가다 꺾여 내려간다
$(-) \to (+)$	극소	내려가다 꺾여 올라간다
$(+) \to (+)$ 또는 $(-) \to (-)$	극값 아님	잠시 평평해졌다 가던 방향으로 계속

삼차함수 $y=ax^3+\cdots$	$f'(x)=0$ 의 실근	극값
서로 다른 두 실근	$2$ 개	극대·극소 하나씩
중근	$1$ 개	극값 없음 (평평한 점만)
실근 없음	$0$ 개	극값 없음 (계속 증가 또는 감소)

시험 포인트

• ”$f'(a)=0$ 이면 극값”은 틀린 문장이다. 부호가 바뀌어야 극값이다. $f(x)=x^3$ 이 반례이고, 이 반례를 묻는 문항이 자주 나온다.
• 극값과 최댓값은 다르다. 극값은 그 근처에서만 가장 큰(작은) 값이고, 최댓값은 주어진 구간 전체에서 가장 큰 값이다. 닫힌구간 문제에서는 극값뿐 아니라 양 끝점의 함숫값도 반드시 비교해야 한다.
• 삼차함수가 극값을 가질 조건은 $f'(x)=0$ 이 서로 다른 두 실근을 갖는 것, 곧 그 이차방정식의 판별식이 $0$ 보다 크다는 것이다. “극값을 갖지 않을 조건”이면 반대로 판별식이 $0$ 이하다.
• 증감표를 쓸 때 $f'(x)=0$ 의 해를 작은 것부터 차례로 놓는다. 순서가 뒤엉키면 부호 조사가 통째로 어긋난다.
• 부호 조사는 각 구간에서 아무 수나 하나 대입해 보면 끝난다. 인수분해된 $f'(x)$ 에 그 수를 넣어 양·음만 보면 되고, 정확한 값은 필요 없다.

개요

05에서 도함수의 부호로 극댓값과 극솟값을 구했다. 그런데 극값은 “그 근처에서만” 가장 크거나 작은 값이다. 실제 문제가 자주 묻는 것은 정해진 구간 전체에서 가장 큰 값과 가장 작은 값 — 곧 최댓값과 최솟값이다. 이 둘을 구하려면 극값뿐 아니라 구간의 양 끝에서 함숫값도 함께 봐야 한다.

최댓값·최솟값을 구할 수 있게 되면 그래프를 이용해 방정식의 실근 개수를 세거나 부등식을 증명하는 데도 쓸 수 있다. 그래프와 직선의 교점 개수를 세는 것, 어떤 값이 항상 다른 값 이상이라는 것을 보이는 것 — 둘 다 최댓값·최솟값을 아는 데서 출발한다.

마지막으로 미분을 원래 자리, 곧 순간변화율로 돌아가 본다. 시각에 따라 움직이는 점의 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도가 나온다. 부호를 가진 값들이라 방향까지 담고 있다는 점이 핵심이다.

핵심 사실

• 닫힌구간에서의 최댓값·최솟값: 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최댓값과 최솟값을 구하려면, 그 구간 안의 극값과 양 끝의 함숫값 $f(a)$, $f(b)$ 를 모두 구해 한꺼번에 비교한다. 그중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
• 방정식 $f(x)=k$ 의 실근의 개수: $y=f(x)$ 의 그래프와 수평선 $y=k$ 의 교점의 개수와 같다. 극댓값 $M$, 극솟값 $m$ ($M>m$) 을 기준으로 $k$ 의 위치를 나누면 교점 개수, 곧 실근의 개수가 정해진다.
• 부등식 증명에 최솟값을 쓴다: 어떤 구간에서 $f(x) \ge 0$ 임을 보이고 싶다면, 그 구간에서 $f(x)$ 의 최솟값이 $0$ 이상임을 보이면 충분하다. 가장 작은 값도 $0$ 이상이면 나머지는 저절로 그 이상이기 때문이다.
• 속도와 가속도: 수직선 위를 움직이는 점의 위치가 시각 $t$ 의 함수 $x(t)$ 로 주어질 때, 위치를 미분하면 속도, 속도를 다시 미분하면 가속도가 나온다.

$$v(t) = x'(t), \qquad a(t) = v'(t)$$

가속도는 위치를 두 번 미분해야 나오는 양이다 — 속도를 거치지 않고 $x(t)$ 를 한 번만 미분해서는 얻을 수 없다.

• 속도의 부호와 속력: $v(t) > 0$ 이면 양의 방향, $v(t) < 0$ 이면 음의 방향으로 움직인다는 뜻이다. $v(t) = 0$ 은 방향이 바뀔 수 있는 자리이고, 부호가 실제로 앞뒤에서 바뀌는지 확인해야 진짜 방향 전환이다. 속도의 절댓값 $|v(t)|$ 는 방향을 버리고 빠르기만 남긴 속력이다.

비교표

구간	최댓값·최솟값을 찾을 때 비교할 값
구간 제한 없이 극값만 있는 경우	극댓값·극솟값
닫힌구간 $[a,b]$	극댓값·극솟값 더하기 $f(a)$, $f(b)$

$k$ 의 위치 ($M$: 극댓값, $m$: 극솟값, $M>m$)	교점의 개수	실근의 개수
$k>M$ 또는 $k<m$	$1$ 개	$1$ (중근 없음)
$k=M$ 또는 $k=m$	$2$ 개(하나는 접점)	$2$ (한 실근은 중근)
$m<k<M$	$3$ 개	$3$ (서로 다른 실근)

시험 포인트

• 닫힌구간 최댓값·최솟값에서 끝점을 빠뜨리는 것이 가장 흔한 실수다. 극값만 비교해 최댓값이라 답하기 쉽지만, 끝점의 함숫값이 모든 극값보다 클 수도 있다. $f(a)$, $f(b)$ 를 반드시 후보에 넣어야 한다.
• 극값과 최댓값을 같은 것으로 보지 않는다. 극값은 최댓값 후보 중 하나일 뿐이다. 구간에 따라서는 극댓값이 하나도 최댓값이 되지 못하고 끝점이 최댓값이 되는 경우도 있다.
• $f(x)=k$ 의 실근 개수에서 접하는 경우($k$ 가 정확히 극값)를 빠뜨리기 쉽다. 이때도 실근은 $2$ 개(중근 포함)로 세어야 하는데, 교점이 “덜 만나는 것처럼” 보여 $1$ 개로 잘못 세는 경우가 잦다.
• 속도와 속력을 혼동해 부호를 잃는다. “속력”을 물으면 $|v(t)|$, “속도”를 물으면 부호가 있는 $v(t)$ 그대로 답해야 한다. 문제의 물음이 무엇인지부터 정확히 확인한다.
• 가속도를 위치 $x(t)$ 의 한 번 미분으로 계산하는 실수가 있다. 그것은 속도다. 가속도를 구하려면 반드시 속도 $v(t)$ 를 한 번 더 미분해야 한다.
• $v(t)=0$ 이라고 반드시 방향이 바뀌는 것은 아니다. 05에서 $f'(a)=0$ 이 극값의 필요조건일 뿐이었던 것과 같은 논리다 — $v(t)$ 의 부호가 그 앞뒤에서 실제로 바뀌어야 방향 전환이다.

개요

미분이 “함수에서 변화율을 뽑아내는” 과정이라면, 적분은 그 반대 — 변화율로부터 원래 함수를 되찾는 과정이다. 미분해서 $f(x)$ 가 되는 함수를 찾는 것이 부정적분이다. 미분을 배웠으니 이제 그 길을 거꾸로 걸으면 된다.

핵심 사실

• 부정적분의 뜻: $F'(x)=f(x)$ 일 때 $F(x)$ 를 $f(x)$ 의 부정적분이라 하고 다음과 같이 쓴다.

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

• 적분상수 $C$: 상수를 미분하면 $0$ 이므로, 미분해서 $f(x)$ 가 되는 함수는 무수히 많다. 그 차이를 담는 것이 적분상수 $C$ 다.
• 다항함수의 부정적분 (단, $n\neq -1$):

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

• 성질: 상수배는 밖으로 빼고, 합·차는 각각 적분한다.

$$\int \{f(x)\pm g(x)\}\,dx=\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$$

비교표

함수 $f(x)$	부정적분 $\int f(x)\,dx$
$x^2$	$\dfrac{x^3}{3}+C$
$2x$	$x^2+C$
$3$	$3x+C$

시험 포인트

• 적분상수 $C$ 를 빠뜨리지 않는다 — 부정적분의 답에는 항상 $+C$ 가 붙는다.
• $x^n$ 의 적분은 “지수를 $1$ 올리고 그 수로 나눈다”. 미분($x^n \to nx^{n-1}$)과 정확히 반대 방향임을 확인한다.
• 검산은 간단하다 — 구한 부정적분을 미분해서 원래 $f(x)$ 가 나오면 맞다.

개요

부정적분이 “원래 함수 찾기”였다면, 정적분은 구간을 정해 그 값을 하나의 수로 계산한 것이다. 놀라운 점은 넓이를 구하는 정적분과 미분의 역과정인 부정적분이 하나로 이어진다는 사실이다. 이것이 미적분학 전체를 떠받치는 미적분의 기본정리다.

핵심 사실

• 정적분의 계산: $f(x)$ 의 부정적분을 $F(x)$ 라 하면, $a$ 에서 $b$ 까지의 정적분은 다음과 같다(미적분의 기본정리).

$$\int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)$$

• 정적분은 하나의 수이므로 적분상수 $C$ 가 필요 없다($F(b)+C-(F(a)+C)$ 에서 $C$ 가 소거된다).
• 성질:

$$\int_a^a f(x)\,dx=0, \qquad \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$$

• 구간 나누기: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$

비교표

구분	부정적분	정적분
결과	함수 $F(x)+C$	하나의 수
적분상수	필요	소거되어 불필요
표기	$\int f(x)\,dx$	$\int_a^b f(x)\,dx$

시험 포인트

• 정적분은 $F(b)-F(a)$ 로, 위끝을 먼저 대입하고 아래끝을 뺀다. 순서를 바꾸면 부호가 반대가 된다.
• 정적분의 결과는 수이므로 $+C$ 를 쓰지 않는다.
• 적분 구간의 위끝과 아래끝이 같으면($\int_a^a$) 값은 항상 $0$ 이다.

개요

정적분의 가장 대표적인 쓰임은 넓이다. 직사각형·삼각형처럼 공식이 있는 도형이 아니라, 곡선으로 둘러싸인 넓이도 정적분으로 정확히 구할 수 있다. 잘게 쪼갠 무수한 막대의 넓이를 더한다는 적분의 원래 뜻이, 곡선 아래 넓이로 곧장 이어진다.

핵심 사실

• 곡선과 $x$ 축 사이의 넓이: 구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)\ge 0$ 이면, 곡선 $y=f(x)$ 와 $x$ 축 사이의 넓이는

$$S=\int_a^b f(x)\,dx$$

• $x$ 축 아래에 있을 때: $f(x)\le 0$ 인 구간에서는 정적분 값이 음수가 되므로, 넓이는 절댓값으로 잡는다.

$$S=\int_a^b |f(x)|\,dx$$

• 두 곡선 사이의 넓이: 구간에서 $f(x)\ge g(x)$ 이면, 두 곡선 사이의 넓이는 위 곡선 빼기 아래 곡선을 적분한다.

$$S=\int_a^b \{f(x)-g(x)\}\,dx$$

• 속도와 거리: 06에서 위치를 미분하면 속도가 됐다. 거꾸로 속도를 적분하면 위치의 변화가 나온다. 시각 $a$ 에서 $b$ 까지의 위치의 변화량은

$$x(b)-x(a)=\int_a^b v(t)\,dt$$

• 위치의 변화량과 움직인 거리는 다르다. 되돌아온 만큼은 위치 변화에서 상쇄되지만, 실제로 움직인 거리에는 그대로 더해진다. 그래서 움직인 거리는 속도에 절댓값을 씌운다.

$$(\text{움직인 거리})=\int_a^b |v(t)|\,dt$$

넓이에서 $x$ 축 아래를 절댓값으로 잡던 것과 정확히 같은 구조다. 축 아래로 내려간 부분이 넓이에서는 음수가 되고, 운동에서는 뒤로 간 것이 된다.

비교표

상황	넓이
$f(x)\ge 0$	$\int_a^b f(x)\,dx$
$f(x)\le 0$	$-\int_a^b f(x)\,dx$
두 곡선 사이	$\int_a^b \{(\text{위})-(\text{아래})\}\,dx$

운동에서 묻는 것	식
위치의 변화량	$\int_a^b v(t)\,dt$ (부호 그대로)
실제로 움직인 거리	$\int_a^b \lvert v(t)\rvert\,dt$ (절댓값)

시험 포인트

• 정적분 값과 넓이는 다르다 — $x$ 축 아래 부분은 정적분이 음수가 되므로, 넓이를 구할 땐 그 구간을 나눠 절댓값으로 더한다.
• 두 곡선 사이 넓이는 먼저 교점을 구해 구간을 정하고, 그 구간에서 어느 쪽이 위인지 확인한다.
• 곡선이 $x$ 축을 가로지르면(부호가 바뀌면) 구간을 나눠 각각 계산한 뒤 절댓값을 더한다.
• “움직인 거리”와 “위치의 변화”를 묻는 문장을 구분한다. 속도가 도중에 부호를 바꾸면 두 값이 달라진다. 거리를 물으면 $v(t)=0$ 이 되는 시각으로 구간을 나눠 각각의 절댓값을 더한다.
• 속도가 한 번도 부호를 바꾸지 않는 구간이라면 둘은 같다. 그래서 먼저 $v(t)=0$ 의 해가 그 구간 안에 있는지부터 확인한다.