고1 기하

기울기가 주어진 원의 접선

y = m x \pm r m^{2} + 1

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접점이 아니라 기울기가 주어지면 접선이 둘이다. 원을 사이에 두고 나란히 놓인 두 직선인데, 그 둘을 한 식으로 적은 것이 플러스마이너스다. 푸는 길은 「중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다」 한 줄이다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

기울기만 주어지면 접선이 둘이다. 중심에서 직선까지의 거리를 반지름과 같다고 놓으면 절편의 절댓값이 정해지고, 부호 둘이 원을 사이에 둔 나란한 두 접선이 된다. 근호 안의 m 제곱 더하기 1 은 거리 공식의 분모가 그대로 올라온 것이다.

y = m x + n, x^{2} + y^{2} = r^{2}

기울기가 m 인 직선을 세로 절편 n 을 미지수로 두고 적는다. 구할 것은 이 직선이 원에 접하게 하는 n 이다.

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외우지 않아도 된다

중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다는 한 줄에서 절편이 결정되기 때문이다.

직선을 y = mx + n 으로 두고 원점에서의 거리를 반지름과 같다고 적는다. 분모의 근호가 그대로 답에 올라온다. 근호 안이 m 제곱 더하기 1 인 것은 거리 공식의 분모에서 온 것이라 외울 필요가 없다.

반지름 r = 2 기울기 m = 1

원 x² + y² = 4

절편 ± r√(m² + 1) = ± 2 × √2 = ± 2.83

중심에서 두 접선까지 2 · 2

기울기가 정해지면 직선은 절편만 남는다. 그 절편을 중심까지의 거리가 r 인 자리로 고르면 |절편| / √(m² + 1) = r 이라 절편이 ±r√(m² + 1) 이다. 부호가 둘이라 접선도 둘이고, 두 접점을 이으면 지름이 된다.

중심은 0, 0 이고 반지름은 2 입니다. 기울기가 1 인 접선은 둘이고, y 절편은 위쪽이 2.83, 아래쪽이 −2.83 입니다. 중심에서 두 직선까지의 거리가 모두 반지름과 같습니다.