고1 도형과 측정

원의 방정식

원의 중심

중심이 $(a, b)$ , 반지름이 $r$ 인 원의 식 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .

초등중등고등

고1 에서 배웁니다.

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ 은 $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ 으로 고쳐지므로 중심이 $(2, - 3)$ , 반지름이 $4$ 인 원이다.

왜 그런가

원은 한 점에서 거리가 같은 점들의 모임이다. 좌표평면에서 거리는 피타고라스 정리로 재므로, 중심까지의 거리가 $r$ 이라는 말을 그대로 식으로 쓰면 원의 방정식이 된다.

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

전개된 꼴 $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ 이 주어지면 $x$ 끼리, $y$ 끼리 완전제곱식을 만들어 중심과 반지름을 읽는다. 이차함수의 꼭짓점을 찾는 방법과 같다.

식이 생기면 원과 직선의 관계도 계산으로 가른다. 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 작으면 두 점에서 만나고, 같으면 접하고, 크면 만나지 않는다.

원의 방정식 원 밖과 안

식

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

> r^{2}

이면 밖,

< r^{2}

이면 안

뜻 중심까지 거리가 정확히

r

중심까지 거리가

r

보다 멀거나 가깝다

완전제곱식으로 고친 오른쪽이 양수일 때만 원이다. $(x - 1)^{2} + y^{2} = 0$ 은 점 $(1, 0)$ 하나이고, $(x - 1)^{2} + y^{2} = - 4$ 를 만족하는 점은 없다. 반지름은 오른쪽 값의 제곱근이라 $16$ 이면 $4$ 다.

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