2배각 공식
📖 이 페이지의 개념삼각함수의 덧셈정리
왼쪽 변 0.866 오른쪽 아래 토막 0.520 오른쪽 위 토막 0.346 오른쪽 변 전체 0.866 두 변의 차 0.000 A 에서 잰 각 35.0°
토막은 수선의 발 좌표에서 잰 길이다. 아래 토막은 빗변 0.906 인 파란 삼각형의 높이, 위 토막은 빗변 0.423 인 노란 삼각형에서 A 의 각(α)에 붙은 변이다. 비교: sin α cos β = 0.520, cos α sin β = 0.346, sin(α+β) = 0.866. 가로로는 위 변 왼쪽 토막 0.500 이 cos(α+β) = 0.500 이다
빗변이 1 이고 한 각이 β 인 직각삼각형을 각 α 만큼 기울여 세우고 꼭짓점마다 수선을 내리면 직사각형 하나가 생긴다. 왼쪽 변은 sin(α+β) 다. 오른쪽 변은 두 토막이다. 아래는 빗변이 cos β 인 파란 삼각형의 높이라 sin α cos β, 위는 빗변이 sin β 인 노란 삼각형에서 각 α 가 다시 나타나 cos α sin β 다. 마주 보는 변은 길이가 같으므로 sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β. β = α 로 두면 두 토막이 같아져 sin 2α = 2 sin α cos α 가 된다.
각을 두 배로 늘린 삼각함수를 원래 각의 삼각함수로 쓴다. 새로 증명할 것이 없다. 덧셈정리에 β = α 를 넣으면 바로 나온다. 코사인은 sin² + cos² = 1 로 세 가지 꼴을 오가고, 그것을 거꾸로 읽으면 제곱을 한 차수 낮추는 식이 되어 적분에서 쓰인다. 성취기준에는 따로 적혀 있지 않지만 덧셈정리에서 바로 나오고 쓰임이 많아 따로 둔다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 덧셈정리에 β = α 를 넣어 sin 2α 와 cos 2α 를 얻는다
- cos 2α 의 세 꼴을 sin² + cos² = 1 로 오간다
- cos² α 와 sin² α 를 cos 2α 로 바꿔 차수를 낮춘다
한 단계씩 유도해 보기
덧셈정리에서 출발한다. 두 각이 서로 달라도 되는 식이다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
덧셈정리에 β = α 를 넣는 것이 전부다. 외우지 말고 한 줄로 끌어낸다.
sin(α + α) 를 덧셈정리로 펼치면 같은 항이 둘이라 2 sinα cosα 다. 코사인은 cos² − sin² 에서 sin² + cos² = 1 로 세 꼴을 만든다. α = 30° 를 넣어 sin 60° 가 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2 로 맞는지 검산한다.