고3 변화와 관계

삼각함수의 덧셈정리

덧셈정리 · 2배각 공식 · 배각 공식

두 각의 합이나 차의 삼각함수를 각 하나하나의 삼각함수로 나타내는 공식.

초등중등고등

고3 에서 배웁니다.

$sin 7 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$ 이다.

왜 그런가

$sin (α + β)$ 는 $sin α + sin β$ 가 아니다. $sin 3 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ}$ 는 $1$ 보다 크지만 $sin 9 0^{\circ} = 1$ 이다. 각을 더하는 것은 회전을 이어 붙이는 일이라, 결과가 두 회전의 사인과 코사인에 섞여서 들어간다.

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

단위원 위에서 각 $α$ 만큼 돈 점을 다시 $β$ 만큼 돌리면, 새 점의 좌표가 이 두 식이 된다. $β = α$ 로 두면 2배각 공식이 바로 나오고, 사인 함수를 미분할 때도 이 식이 쓰인다.

장면으로 보기 · 원과 파동은 한 물건

원과 파동은 한 물건

y = 1.5 sin θ 진폭 1.5 주기 2π/b = 2π

a = 1.5 b = 1

원 위를 도는 점을 시간 축으로 밀어 내면 나선이 됩니다. 이 나선을 옆에서 보면 사인파, 축 방향에서 보면 원입니다. 진폭 a 는 원의 반지름이고, b 를 키우면 원을 더 빨리 돌아 주기 2π/b 가 짧아집니다.

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sin(α+β)와 sin α + sin β

sin(α+β) sin α + sin β

α = 3 0^{\circ}

β = 6 0^{\circ}

sin 9 0^{\circ} = 1

\frac{1 + 3}{2} \approx 1.37

계산 덧셈정리로 푼다 두 값을 그냥 더한다

흔한 오해

코사인 쪽의 부호가 거꾸로다. $cos (α + β)$ 에는 빼기가, $cos (α - β)$ 에는 더하기가 들어간다. $α = β$ 를 넣어 $cos (α - α) = cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ 이 되는지로 확인할 수 있다.

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