파랑1 부터 3 까지1.099노랑1 부터 2 까지를 옮긴 띠0.693파랑 + 노랑1.7921 부터 6 까지 곧장 잰 넓이1.792
넓이는 곡선 위 1001 점으로 만든 다각형을 꼭짓점 좌표로 잰다. 띠는 가로 3 배, 세로 3 분의 1 이라 넓이가 그대로이고,
옮긴 윗변과 곡선의 틈은 0.000. 비교: ln 3 + ln 2 = 1.099 + 0.693 = 1.792 = ln 6
곡선 y = 1/x 아래 1 부터 2 까지의 띠를 가로로 a 배 늘이고 세로로 a 분의 1 로 누르면 넓이가 그대로다. 그런데 점 (x, 1/x) 는 (ax, 1/(ax)) 로 가서 다시 곡선 위에 있다. 그래서 띠는 a 부터 2a 까지를 꼭 채우고, 1 부터 2a 까지의 넓이는 1 부터 a 까지와 1 부터 2 까지의 합이 된다. 곱을 합으로 바꾸는 이 넓이가 로그라서 ∫ 1/x dx = ln x + C 다.
다항함수의 적분 공식은 지수가 −1 인 자리에서 분모가 0 이 되어 멈춘다. 그 한 칸을 로그가 메운다. 지수함수 쪽은 미분해도 자기 자신이라는 성질이 그대로 뒤집혀 한 줄로 끝난다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
미분 공식을 거꾸로 읽어 부정적분을 얻는다
x 분의 1 의 원시함수에 절댓값이 붙는 까닭을 음수 쪽에서 확인한다
분자가 분모의 도함수인 꼴을 보면 곧바로 로그로 적는다
한 단계씩 유도해 보기
x 의 거듭제곱 공식은 지수가 −1 인 자리에서 분모가 0 이 되어 멈춘다. 그 한 칸을 로그가 메운다. 1 에서 e 까지 곡선 아래 넓이가 정확히 1 이고, 원점에 대해 대칭인 왼쪽 가지에서도 같은 값이 나온다. 원시함수에 절댓값이 붙는 까닭이 그 대칭이다.
(ex)′=ex⇒∫exdx=ex+C
부정적분은 미분을 거꾸로 읽는 일이다. 미분해도 자기 자신인 함수가 있으니 지수 쪽은 이 한 줄로 끝난다.
1 / 2 단계· 💎 3단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
미분 공식을 거꾸로 읽으면 되고, 빈 자리 하나만 로그가 메운다.
지수 쪽은 미분해도 자기 자신이라 그대로다. x 분의 1 은 거듭제곱 공식이 지수 −1 에서 분모가 0 이 되어 못 주는 자리이고, 미분해서 그 함수가 되는 것을 찾으면 로그다. 음수 쪽까지 한 식으로 쓰려고 절댓값을 씌운다. 분자가 분모의 도함수인 꼴을 보면 곧바로 로그로 적는다.
직사각형 12개의 합 S12 = 1.06n 을 늘려 보세요. 막대가 곡선에 붙으면서 합이 아래 값으로 다가갑니다
∫ab (1/x) dx = [ln|x|]ab = 1.012 − 0 = 1.012
차이 = 0.048왼쪽 끝값으로 세운 막대라 늘 조금 모자라거나 넘친다. 다만 n 을 두 배로 하면 차이도 절반이 되고,
n 을 한없이 키우면 0 으로 간다. 정적분은 그 극한값이다
n 12 · 합 1.06 · 정적분 1.012 · 차 0.048
1/x 는 x = 0 에서 끊긴다. 그래서 이 판은 오른쪽 가지만 본다 왼쪽 가지에서도 같은 넓이가 나온다(−b 부터 −a 까지). 원시함수가 ln x 가 아니라 ln|x| 인 까닭이 그것이다. a 를 1 에 두고 b 를 밀면 쌓인 넓이가 ln b 를 따라가고, b 를 e(약 2.72) 근처에 두면 1 에 붙는다
y = 1/x 을 1 부터 2.75 까지 12 개의 직사각형으로 쪼갰습니다. 직사각형의 합은 1.06 이고 정적분의 값은 1.012 입니다.