일반 밑의 지수·로그함수의 도함수
밑 a = 2.72 높이 = 1.82 기울기 = 1.82 기울기 ÷ 높이 = 1.000 (x 를 옮겨도 그대로)
기울기는 (a^(x+h) − a^(x−h)) / 2h 로 잰다(h = 0.001). 비율이 1 이 되는 밑 = 2.71828. 비교: e = 2.71828, ln a = 1.000
지수함수는 점을 어디로 옮겨도 접선의 기울기가 그 자리 높이의 몇 배인지가 변하지 않는다. 그 배수가 ln a 이고, 배수가 정확히 1 이 되는 밑이 e 다. e 가 특별한 것은 미분이 가장 깔끔해지도록 고른 수이기 때문이다.
밑이 e 가 아닌 지수함수와 로그함수도 미분할 수 있다. 밑 a 를 e 의 거듭제곱으로 바꿔 쓰면 이미 아는 (e^x)′ = e^x 와 합성함수의 미분법만으로 끝난다. 그 대가로 ln a 하나가 따라붙는데, 지수함수에서는 곱해지고 로그함수에서는 분모로 간다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- a^x 를 e^(x ln a) 로 바꿔 쓰고 합성함수의 미분법으로 미분한다
- 로그함수의 도함수를 지수함수의 도함수에서 역함수로 끌어낸다
- ln a 가 곱해지는 자리와 분모로 가는 자리를 구별한다
한 단계씩 유도해 보기
a = e^(ln a) 이므로 a 를 x 제곱하면 지수끼리 곱해져 e^(x ln a) 가 된다. 밑을 e 로 바꿔 두면 이미 아는 도함수를 쓸 수 있다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
밑을 e 로 바꾸면 이미 아는 두 도함수와 합성함수의 미분법만으로 나온다. 외울 것은 ln a 가 어디에 붙느냐 하나다.
a^x = e^(x ln a) 를 먼저 적는다. 겉은 그대로, 속미분이 ln a 라 곱해진다. 로그는 역함수라 그 결과를 뒤집으면 분모로 간다. a = e 를 넣어 (e^x)′ = e^x 와 (ln x)′ = 1/x 로 돌아오는지 보면 검산된다.