자연·몸 미적분
세균은 많을수록 빨리 는다 · 지수함수의 미분
20분마다 두 배가 되는 세균은 그 순간 수의 약 3.5%씩 1분에 는다
- 2^(t/20) 20분마다 두 배
- N′ = 0.0347N 늘어나는 빠르기는 지금 수에 비례
- 277마리/분 1시간 뒤(8,000마리)의 증가 속도
어떤 세균이 20분마다 두 배로 는다. 처음에 1,000마리라면 t분 뒤에는 N(t) = 1000 × 2^(t/20)마리다. 1시간 뒤에는 8,000마리, 2시간 뒤에는 64,000마리다. 그런데 「지금 1분에 몇 마리씩 늘고 있는가」를 물으면 미분이 필요하다.
많을수록 빨리 는다. 그 문장을 미분으로 쓰면 지수함수가 답이 된다.
지수함수의 도함수는 자기 자신에 상수를 곱한 꼴이다. (aˣ)′ = aˣ × ln a이므로 N′(t) = 1000 × 2^(t/20) × ln 2 ÷ 20 = N(t) × 0.0347이다. 늘어나는 빠르기가 지금 있는 수에 비례한다. 1시간 뒤 8,000마리일 때는 1분에 약 277마리씩, 2시간 뒤 64,000마리일 때는 약 2,218마리씩 는다.
밑을 e로 바꾸면 식이 더 깔끔해진다. 2^(t/20) = e^(kt)이고 k = ln 2 ÷ 20 ≈ 0.0347이다. (e^(kt))′ = k × e^(kt)이니 N′ = kN이다. 「늘어나는 빠르기가 지금 양에 비례한다」는 말을 식으로 쓴 것이 이 미분방정식이고, 그 답이 지수함수다. 자연로그의 밑 e가 특별한 것은 (eˣ)′ = eˣ, 곧 비례상수가 1이 되기 때문이다.
현실의 세균은 영양분과 공간이 모자라면 더 이상 이렇게 늘지 못한다. 그래도 초기에는 지수적으로 늘어나므로, 음식을 상온에 두는 시간이 조금만 길어져도 세균 수가 크게 달라진다. 감염병 초기의 확진자 수, 복리로 늘어나는 돈도 「많을수록 빨리 는다」는 같은 식을 따른다.