고1 문자와식
x³ = 1 의 허근 ω 의 성질
📖 이 페이지의 개념실근과 허근
삼차방정식 x³ = 1 은 실근 1 말고도 허근 둘을 갖는다. 그중 하나를 ω 라 하면 ω 는 세제곱해서 1 이 되는 수이고, 동시에 이차방정식 x² + x + 1 = 0 의 근이다. 이 두 사실만 있으면 ω 의 아무리 높은 거듭제곱도 지수를 3 으로 나눈 나머지 하나로 줄어든다. 복소수의 거듭제곱 가운데 i 다음으로 자주 나오는 계산이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- x³ − 1 을 인수분해해 ω 가 x² + x + 1 = 0 의 근임을 보인다
- ω³ = 1 을 써서 ω 의 거듭제곱을 지수를 3 으로 나눈 나머지로 줄인다
- ω 의 켤레가 ω² 이고 1/ω 과도 같음을 설명한다
한 단계씩 유도해 보기
ω 는 방정식 x³ = 1 의 허근이다. 근이라는 말이 곧 대입하면 성립한다는 말이므로 첫째 성질은 따로 증명할 것이 없다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
x³ − 1 을 인수분해하면 ω 가 1 이 아닌 쪽 인수, 곧 x² + x + 1 = 0 의 근이 된다.
x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1) 한 줄에서 끝난다. ω 는 1 이 아니니 뒤 인수가 0 이다. 거듭제곱은 지수를 3 으로 나눈 나머지만 보면 되고, i 가 4 로 도는 것과 헷갈리지 않게 「세제곱이 1」을 먼저 떠올린다. ω + ω² = −1 과 ω × ω² = 1 은 두 근의 합과 곱이다.