여러 가지 방정식

개요

이차방정식까지는 근의 공식이라는 만능 열쇠가 있었다. 그런데 차수가 셋, 넷으로 올라가면 외워서 쓸 공식이 없다. 대신 방법은 하나로 정해져 있다, 곧 인수분해해서 차수를 낮추는 것이다. 삼차방정식은 (일차)×(이차)로 쪼개면 이미 아는 문제가 되고, 사차방정식도 마찬가지다.

여기서 결정적인 도구가 나머지정리와 인수정리다. $P(a) = 0$ 이면 $P(x)$ 는 $x - a$ 로 나누어떨어진다는 사실 덕분에, 답이 될 만한 수 하나만 찾으면 인수 하나가 손에 들어온다. 나머지는 조립제법으로 몫을 구해 차수를 낮추면 된다.

뒤이어 미지수가 두 개이면서 차수가 이차인 연립이차방정식도 다룬다. 중2의 연립일차방정식에서 쓰던 대입법이 그대로 통한다.

핵심 사실

• 근의 후보: 계수가 정수일 때 유리수 근은 $\pm\dfrac{(\text{상수항의 약수})}{(\text{최고차항 계수의 약수})}$ 중에 있다. 대개 $\pm 1, \pm 2$ 부터 넣어 본다.
• 조립제법으로 몫을 구해 차수를 낮춘다. 예를 들어 $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$ 은 $x = 1$ 이 근이므로

$$(x - 1)(x^2 - x - 2) = 0 \;\Rightarrow\; (x - 1)(x - 2)(x + 1) = 0$$

• 따라서 해는 $x = 1,\ 2,\ -1$ 이다. 한 번 인수를 찾으면 남는 것은 이차방정식이므로 그다음은 근의 공식이나 인수분해로 끝낸다.
• 삼차방정식 $x^3 = 1$ 의 허근: $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) = 0$ 이므로 $x = 1$ 또는 $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$ 다. 이 허근을 $\omega$ 라 하면 $\omega^3 = 1$, $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ 이라는 두 성질이 자주 쓰인다.
• 복이차식($x^4, x^2,$ 상수만 있는 식)은 $x^2 = t$ 로 치환한다. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ 은 $t^2 - 5t + 4 = 0$ 이 되어 $t = 1, 4$, 곧 $x = \pm 1, \pm 2$ 다.
• 켤레근: 계수가 모두 실수인 방정식이 허근 $p + qi$ 를 가지면 켤레인 $p - qi$ 도 반드시 근이다. 허근은 항상 짝으로 나온다. $i$ 를 다루는 계산 자체는 복소수 단원에 있다.
• 연립이차방정식: (일차)+(이차) 꼴은 대입법이 원칙이다. 일차식을 $y = \square$ 로 정리해 이차식에 넣으면 미지수 하나짜리 이차방정식이 된다.
• 연립이차방정식: (이차)+(이차) 꼴은 한 식이 인수분해되는지 먼저 본다. $x^2 - y^2 = 0$ 은 $(x-y)(x+y) = 0$ 이므로 $y = x$ 또는 $y = -x$ 로 갈라져, 각각을 다른 식에 대입하는 두 갈래 문제가 된다.

이 단원의 풀이는 외울 공식이 없는 대신 순서가 정해져 있습니다. 아래에서 한 단계씩 넘겨 보세요. 각 단계에 “무엇을 왜 했는가”가 붙어 있습니다. 두 프리셋은 방법이 달라 보이지만 목표가 같습니다: 차수를 낮춰 이미 아는 문제로 만드는 것. 삼차는 근 하나를 찾아서, 복이차식은 치환으로 낮춥니다.

삼차방정식: 근 하나를 찾아 낮추기복이차식: 치환으로 낮추기

$$x^3-2x^2-x+2=0$$

차수가 3 이면 외워 쓸 근의 공식이 없다. 방법은 하나, 곧 인수분해해서 차수를 낮추는 것이다. 그 시작은 근이 될 만한 수 하나를 찾는 것이다.

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