실근과 허근
실근 · 허근 · 중근
방정식의 근 가운데 실수인 것이 실근, 허수인 것이 허근이다.
중3 에 처음 만나 고1 까지 이어집니다.
의 근 , 은 실근이고, 의 근 는 허근이다.
왜 그런가
근을 수직선 위에 찍을 수 있으면 실근, 찍을 수 없으면 허근이다. 그래프로 보면 은 축과 , 에서 만나고, 그 두 자리가 실근이다. 는 가장 낮은 점이 라서 축에 닿지 않는다. 그렇다고 근이 사라진 것은 아니다. 수직선 밖, 복소수 쪽에 있을 뿐이다.
허근도 그래프와 끈이 닿아 있다. 두 허근 와 의 실수부분 은 포물선의 축 과 같다. 두 근의 한가운데가 축이라는 사실은 근이 실수든 허수든 그대로다.
계수가 모두 실수인 방정식이면 허근은 서로 켤레인 둘이 짝을 지어 나온다. 그래서 허근은 언제나 짝수 개이고, 계수가 실수인 삼차방정식은 실근을 적어도 하나 갖는다. 그래프로 보면 삼차함수는 왼쪽 끝과 오른쪽 끝이 반대 방향으로 뻗어 축을 반드시 한 번은 가로지른다.
장면으로 보기 · 사라진 근은 어디로 갔나
y = x² − x + 1.25 D = −4.00 x₁ = 0.50 + 1.00i x₂ = 0.50 − 1.00i
판별식이 음수가 되어도 근은 사라지지 않습니다. 실수축에서 만난 두 근이 허수 방향으로 갈라져 나갈 뿐이고, 보라색 그림자 포물선이 바닥과 만나는 바로 그 자리입니다.
실근과 허근
흔한 오해
중근은 근이 하나뿐인 것이 아니라 같은 근 둘이 겹친 것이다. 의 근은 과 이다. 겹친 것까지 세면 둘이고, 「서로 다른 근」으로 세면 하나다. 개수를 묻는 문제에서는 어느 쪽으로 세라는지 먼저 읽는다.
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