첫 삼각형4.0000이어서1.0000 · 0.2500 · 0.0625 · 0.0156단계마다 앞의0.2500배다섯 단계 합5.3281포물선 조각5.3333조각 ÷ 첫 삼각형1.3333
삼각형은 꼭짓점 좌표로, 포물선 조각은 1000 조각 꺾은선으로 잰다. 직선을 기울여도 두 교점 사이가 4 라 수가 그대로다. 비교: 1 + 1/4
+ 1/16 + … = 4/3 = 1.3333, |a|(β − α)³ ÷ 6 = 0.5 × 4³ ÷ 6 = 5.3333
α = −1.5 · β = 2.5
포물선과 직선이 가둔 조각에 가장 큰 삼각형을 넣고, 남은 두 틈에 같은 방법으로 삼각형을 넣기를 되풀이한다. 새 단계의 넓이는 늘 앞 단계의 1/4 이라, 다 채우면 첫 삼각형의 1 + 1/4 + 1/16 + … = 4/3 배다. 첫 삼각형은 밑변의 가로 폭이 β − α, 가운데 세로 틈이 |a|(β − α)²/4 라 넓이가 |a|(β − α)³/8 이다. 4/3 을 곱하면 |a|(β − α)³/6 이 된다. 직선의 기울기는 어디에도 들어가지 않는다.
포물선과 직선, 또는 두 포물선이 두 점에서 만날 때 그 사이의 넓이를 적분을 끝까지 하지 않고 준다. 두 식의 차가 a(x − α)(x − β) 꼴의 이차식이면 넓이는 그 이차식의 x² 계수와 두 교점 사이의 거리만으로 정해진다. 교과서 본문에 나오는 공식이 아니라 계산을 줄이려고 널리 쓰는 관례 공식이다. 그래서 유도를 한 번 따라가 두고 쓴다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
두 곡선의 차를 인수분해해 a(x − α)(x − β) 꼴로 쓴다
치환 t = x − α 로 적분해 (β − α)³/6 을 끌어낸다
적분한 값을 이 공식으로 검산한다
한 단계씩 유도해 보기
두 곡선의 차는 −2x² + 8 = −2(x + 2)(x − 2) 라 x² 계수의 크기가 2 이고 두 교점이 −2 와 2 다. 칠한 넓이는 적분을 끝까지 하지 않아도 2 × 4³ ÷ 6 = 64/3 이다. 차가 이차식이고 구간이 정확히 두 교점 사이일 때만 쓰는 관례 공식이다.
∫αβ(x−α)(x−β)dx
a = 1 로 먼저 계산하고 마지막에 |a| 를 곱한다. α 와 β 사이에서 (x − α)(x − β) 는 음수라 넓이는 이 적분의 절댓값이다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
치환 한 번으로 구간을 0 부터 h 까지로 옮기면 두 항이 h³/3 과 h³/2 로 떨어진다. 그 차가 1/6 이다.
쓰기 전에 조건 둘을 확인한다. 두 곡선의 차가 이차식이어야 하고 구간이 정확히 두 교점 사이여야 한다. a 는 두 식을 뺀 뒤의 x² 계수다. 포물선끼리면 두 계수의 차가 된다.