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📝 수능 범위 공식입니다. 범위만 한 줄씩 훑기 →
확률변수에 상수를 곱하고 더하면 분포가 어떻게 달라지는가. 평균은 곱하고 더한 그대로 따라가지만 흩어짐은 다르다. 통째로 옮기는 것은 흩어짐을 바꾸지 않고, 늘리는 것만 흩어짐을 바꾼다. 정규분포의 표준화가 이 성질 하나로 돌아간다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 평균은 일차식을 그대로 따라감을 안다
- 분산에는 계수의 제곱만 붙고 상수항은 사라짐을 설명한다
- 표준편차에서 계수의 절댓값을 쓴다
한 단계씩 유도해 보기
같은 자로 잰 두 수직선. 통째로 옮기면 간격이 그대로이고, 늘리면 간격까지 늘어난다. E(aX+b)=∑(axi+b)pi=a∑xipi+b∑pi=aE(X)+b
평균의 정의에 넣고 시그마를 가른다. 앞 덩어리가 aE(X) 이고, 뒤는 확률을 전부 더한 것이라 Σpᵢ = 1 이므로 b 가 그대로 남는다. 평균은 일차식을 그대로 따라간다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
평균을 빼면 b 가 지워진다는 한 줄이 셋을 모두 설명한다.
수직선 위의 점 몇 개를 떠올린다. 통째로 밀면 서로의 간격은 그대로이고, a 배로 늘리면 간격도 a 배가 된다. 그래서 분산에는 a² 이 붙고 b 는 흔적도 없다. 표준화 Z = (X − m)/σ 가 이 성질을 두 번 쓴 것이다.
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직접 만져 보기
E(aX+b) = 1.5×5 −
1.5 = 6 · V(aX+b) = 2.25×5.6 = 12.6
원래 평균 5 · 분산 5.6 → 옮긴 뒤 평균 6 · 분산 12.6
a 1.5 · 원평균 5 · 원분산 5.6 · 새평균 6 · 새분산 12.6
위의 흐린 점이 원래 자료이고 아래가 1.5 배 늘려 −1.5 만큼 민 것이다. 평균은 같은 규칙으로 따라가지만 분산은 1.5 의 제곱인 2.25 배가 된다. 미는 것은 흩어진 정도를 안 바꾸기 때문이다.
점을 끌어 옮길 수 있습니다.
원래 자료의 평균은 5, 분산은 5.6 입니다. 1.5 배 늘려 옮긴 자료의 평균은 6, 분산은 12.6 입니다. 분산이 2.25 배가 됐습니다.
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