고2 자료와 가능성

확률변수

확률분포 · 기댓값 · 이항분포

시행의 결과마다 수 하나를 붙인 것. 각 값이 나올 확률이 함께 정해진다.

초등중등고등

고2 에서 배웁니다.

동전 두 개를 던져 앞면의 개수를 $X$ 라 하면 $X$ 는 $0, 1, 2$ 이고, 확률은 각각 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ 이다. 평균은 $E (X) = 1$ 이다.

왜 그런가

「앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤」 같은 결과는 계산할 수 없다. 결과마다 수를 붙이면 더하고 평균을 내고 흩어진 정도를 잴 수 있다. 확률변수는 우연한 결과를 수로 바꾸는 장치다.

확률변수가 어떤 값을 어떤 확률로 갖는지 정리한 것이 확률분포다. 표로 쓰면 값과 확률의 짝이 늘어선다. 확률을 모두 더하면 언제나 $1$ 이다.

평균(기댓값)은 값에 확률을 곱해 더한 것이다. 같은 시행을 아주 많이 되풀이하면 결과의 평균이 이 값에 가까워진다. 복권 한 장의 기댓값이 산 값보다 작으면 오래 살수록 손해다.

장면으로 보기 · 무작위가 모이면

무작위가 모이면

구슬 0개 표본 평균 0.00 np = 6.00 √npq = 1.73

줄 n = 12 p = 0.50

구슬 하나가 어느 칸에 떨어질지는 아무도 모릅니다. 그런데 수백 개가 모이면 막대가 노란 종 모양 곡선에 꼭 맞게 자랍니다. 이항분포 B(n, p) 가 정규분포 N(np, npq) 에 가까워지는 모습입니다.

확률변수 방정식의 미지수

값 여러 값을 각자의 확률로 갖는다 조건을 만족하는 값이 정해져 있다

묻는 것 평균 · 분산 · 어떤 값의 확률 그 값이 무엇인가

변수라는 이름이 붙었지만 하는 일은 함수다. 시행의 결과 하나하나에 수 하나를 대응시키기 때문이다.

기댓값은 실제로 나올 수 있는 값이 아닐 수 있다. 주사위 눈의 기댓값은 $3.5$ 지만 주사위에 $3.5$ 는 없다. 많이 던졌을 때의 평균이 그쪽으로 모인다는 뜻이다.

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확률변수와 이어진 말

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그물에 못 담은 이웃 큰 수의 법칙