삼각함수의 덧셈정리
📖 이 페이지의 개념삼각함수의 덧셈정리
왼쪽 변 0.866 오른쪽 아래 토막 0.520 오른쪽 위 토막 0.346 오른쪽 변 전체 0.866 두 변의 차 0.000 A 에서 잰 각 35.0°
토막은 수선의 발 좌표에서 잰 길이다. 아래 토막은 빗변 0.906 인 파란 삼각형의 높이, 위 토막은 빗변 0.423 인 노란 삼각형에서 A 의 각(α)에 붙은 변이다. 비교: sin α cos β = 0.520, cos α sin β = 0.346, sin(α+β) = 0.866. 가로로는 위 변 왼쪽 토막 0.500 이 cos(α+β) = 0.500 이다
빗변이 1 이고 한 각이 β 인 직각삼각형을 각 α 만큼 기울여 세우고 꼭짓점마다 수선을 내리면 직사각형 하나가 생긴다. 왼쪽 변은 sin(α+β) 다. 오른쪽 변은 두 토막이다. 아래는 빗변이 cos β 인 파란 삼각형의 높이라 sin α cos β, 위는 빗변이 sin β 인 노란 삼각형에서 각 α 가 다시 나타나 cos α sin β 다. 마주 보는 변은 길이가 같으므로 sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β. β = α 로 두면 두 토막이 같아져 sin 2α = 2 sin α cos α 가 된다.
sin(α + β) 는 sin α + sin β 가 아니다. 각을 더하면 두 각의 sin 과 cos 이 서로 섞여 나온다. 2배각·반각 공식이 모두 이 식에서 따라 나오고, 삼각함수를 미분할 때 도함수를 세우는 문도 이 식이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 덧셈정리로 15°, 75° 같은 각의 값을 구한다
- β = α 를 넣어 2배각 공식을 직접 만든다
- sin(α+β) ≠ sinα + sinβ 임을 수로 확인한다
한 단계씩 유도해 보기
단위원 위에 각 α 인 점 P 와 각 β 인 점 Q 를 잡는다. 반지름이 1 이므로 좌표가 그대로 코사인과 사인이다.
1 / 2 단계· 💎 3단계 더
외울까, 되살릴까
외우는 편이 싸다
부호 규칙만 외우면 되고, 잊었을 때 단위원에서 되살리는 길이 있다.
sin 은 부호가 그대로 +, cos 는 뒤집혀 −. 이 한 줄이 전부다. 확인은 β = 0 을 넣는다. sin(α + 0) 이 sin α × 1 + cos α × 0 = sin α 로 돌아오면 제대로 쓴 것이다. 부호까지 잊었다면 단위원에서 되살린다. 각 α 와 각 β 인 두 점 사이의 거리를 좌표로 한 번 재고, 같은 현을 β 만큼 되돌려 (1, 0) 에서 또 한 번 재어 맞놓으면 cos(α − β) 가 나온다. 나머지 셋은 대입뿐이다. 2배각도 β 자리에 α 를 넣으면 그 자리에서 나오므로 따로 외우지 않는다.
레온하르트 오일러