기하
벡터의 내적
📖 이 페이지의 개념벡터방향벡터와 법선벡터정사영내적
내적은 한 벡터가 다른 벡터 방향으로 얼마나 나아가는지를 재는 값이다. 각으로 쓴 식과 성분으로 쓴 식이 같다는 것이 핵심이다. 그래서 좌표만 알면 두 벡터가 이루는 각을 구할 수 있고, 수직인지 아닌지는 내적이 0 인지로 판정된다. 공간벡터에서는 셋째 성분의 곱 a₃b₃ 가 하나 더 붙을 뿐 나머지는 그대로다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 성분과 각, 두 방식으로 내적을 계산한다
- 내적이 0 이면 수직임을 이용해 조건을 세운다
- 내적으로 두 벡터가 이루는 각을 구한다
- 공간벡터의 내적을 성분 셋으로 계산한다
한 단계씩 유도해 보기
두 벡터가 만드는 삼각형에 코사인법칙을 쓴다(두 벡터가 평행하지 않을 때. 평행이면 각이 0° 또는 180° 라 같은 식이 그대로 성립한다). 공간에서도 두 벡터는 언제나 한 평면 위에 놓이므로 이 삼각형이 그대로 생긴다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우는 편이 싸다
성분 곱의 합과 크기·cos 두 표현을 함께 외운다. 내적 0 이면 수직이 핵심이다.
성분끼리 곱해 더하는 쪽과 크기·cos 으로 쓰는 쪽을 함께 붙잡는다. 두 표현이 같은 값이라는 것이 내적의 핵심이다. 검산은 수직인 두 벡터로 한다. (1, 0) 과 (0, 1) 은 성분 계산이 0 이고 cos 90° 도 0 이라 양쪽 다 0 이다. 내적이 0 이면 수직이라는 말이 여기서 나온다.
윌리엄 로언 해밀턴