당구에서 쿠션을 한 번 맞혀 공을 맞히는 법 · 대칭이동

당구대 위에 내 공 A와 맞혀야 할 공 B가 있는데, 그 사이를 다른 공이 막고 있다. 그래서 쿠션(벽)을 한 번 맞히고 돌아 B로 가야 한다. 벽의 어느 점을 겨눠야 할까.

벽 너머에 비친 공을 겨누면, 꺾인 길이 곧은 길이 된다.

쿠션을 x축으로 두고 A(1, 2), B(5, 1)이라 하자. B를 x축에 대해 대칭이동한 점 B′(5, −1)을 찍는다. 벽 너머 거울 속에 비친 B다. A에서 B′을 향해 곧장 쳐서 벽과 만나는 점 P를 겨누면 된다. 직선 AB′은 기울기가 −3/4이고, x축과 x = 1 + 2 × 4/3 ≈ 3.67에서 만난다.

왜 이 점일까. 벽 위의 어떤 점 Q를 거쳐 가든 QB와 QB′은 길이가 같다. 그래서 A에서 Q를 거쳐 B로 가는 길이는 AQ + QB′과 같고, 이것이 가장 짧은 때는 A, Q, B′이 한 직선 위에 있을 때, 곧 Q가 P일 때다. 그 길이는 AB′ = √(4² + 3²) = 5다. 게다가 대칭이동은 각을 보존하므로 공이 벽에 들어가는 각과 튀어나오는 각이 같아진다. 공이 실제로 튀는 규칙과 가장 짧은 길이 같은 점을 가리킨다.

쿠션을 두 번 맞히는 길은 대칭이동을 두 번 하면 된다. 두 벽에 차례로 비친 B를 겨누면 된다. 실제 당구공은 회전과 마찰 때문에 이 선에서 조금씩 벗어나고, 선수들은 그 차이를 손으로 익힌다. 그래도 출발점은 거울 속의 공을 겨누는 이 계산이다. 빛이 거울에 반사되는 길이 가장 짧은 길이라는 사실도 같은 대칭이동으로 설명된다.

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