도형의 이동

개요

초등학교에서 도형을 밀고 뒤집는 것을 그림으로 해 봤다. 이제 같은 일을 식으로 한다. 직선이나 원을 오른쪽으로 $3$ 만큼 밀면 그 식은 어떻게 바뀔까? $x$ 축에 대해 뒤집으면? 규칙은 놀랍도록 단순하고, 한 번 익히면 직선·원뿐 아니라 앞으로 배울 모든 함수의 그래프에 똑같이 적용된다. 도형의 종류가 아니라 이동 자체의 규칙을 배우는 단원이다.

핵심 사실

• 도형(식)의 평행이동: 그런데 식에서는 빼는 방향으로 들어간다. $f(x, y) = 0$ 을 같은 만큼 옮기면 다음과 같다.

$$f(x-a,\ y-b)=0$$

• 예를 들어 $y = x^2$ 을 오른쪽으로 $3$ 만큼 옮기면 $y = (x-3)^2$ 이다. 점은 $+3$, 식은 $-3$ 이라는 이 반대 방향이 이 단원 최대의 함정이다.
• 왜 반대인가: 옮긴 도형 위의 점 $(x, y)$ 는, 원래 도형 위의 점 $(x - a,\ y - b)$ 가 이동해 온 결과다. 그래서 원래 식에 넣어야 하는 값이 $x - a$, $y - b$ 다. 규칙으로 외우기보다 이 한 문장을 이해해 두면 헷갈리지 않는다.
• 대칭이동: 좌표의 부호나 자리를 바꾸는 것으로 끝난다. $x$ 축 대칭은 $y \to -y$(위아래 뒤집기), $y$ 축 대칭은 $x \to -x$(좌우 뒤집기), 원점 대칭은 둘 다 뒤집기, 직선 $y = x$ 대칭은 $x$ 와 $y$ 를 맞바꾸기다.
• 원의 이동은 중심만 옮기면 된다: 반지름은 평행이동·대칭이동으로 변하지 않으므로, 원의 방정식에서는 중심 좌표만 규칙대로 옮기고 $r$ 은 그대로 둔다. 계산이 크게 줄어든다.

비교표

이동	점 $(x, y)$ →	식 $f(x, y) = 0$ →
$x$ 축 방향 $a$, $y$ 축 방향 $b$ 평행이동	$(x+a,\ y+b)$	$f(x-a,\ y-b)=0$
$x$ 축 대칭	$(x,\ -y)$	$f(x,\ -y)=0$
$y$ 축 대칭	$(-x,\ y)$	$f(-x,\ y)=0$
원점 대칭	$(-x,\ -y)$	$f(-x,\ -y)=0$
$y = x$ 대칭	$(y,\ x)$	$f(y,\ x)=0$

표의 네 가지 대칭이동은 결국 좌표의 부호를 바꾸거나 자리를 맞바꾸는 일뿐입니다. 그래서 행렬 하나로 적을 수 있습니다. 아래에서 x축 대칭·y축 대칭·원점 대칭·y = x 대칭 을 차례로 눌러 네 성분이 어떻게 달라지는지 보고, 비대칭인 도형이 어느 쪽으로 뒤집히는지 확인해 보세요. 평행이동만은 행렬 안에 넣을 수 없어 밖에서 더합니다. 그래서 곱하고 → 옮기기 와 옮기고 → 곱하기 의 도착점이 다릅니다. 아래 시험 포인트의 “여러 번 이동할 때는 순서대로 한 단계씩”이 바로 이 이야기입니다.

x축 대칭 (위아래 뒤집기)y = x 대칭 (x 와 y 맞바꾸기)대칭 뒤 평행이동: 순서를 바꿔 보기

90° 회전x축 대칭y축 대칭원점 대칭y = x 대칭2배 확대밀기(전단)단위행렬 E

a1 b0 c0 d-1

회전각 θ 90° 평행이동 x 0 평행이동 y 0

곱하고 → 옮기기 옮기고 → 곱하기

① 행 × 열 (1·2 + 0·3, 0·2 + (-1)·3) = (2, -3)

② 옮기기 (2, -3) + (0, 0) = (2, -3)

행렬은 1, 0, 0, -1 이고 평행이동은 0, 0 입니다. 행렬을 곱한 뒤 옮깁니다. 점 (2, 3) 은 (2, -3) 로 갑니다.