매미는 왜 13년, 17년마다 한꺼번에 나올까 · 소수와 최소공배수

북아메리카에는 땅속에서 13년 또는 17년을 지낸 뒤 같은 해에 한꺼번에 땅 위로 나오는 매미가 있다. 13도 17도 1과 자기 자신으로만 나누어지는 소수다. 우연일 수도 있지만, 생물학자들이 내놓은 설명 가운데 하나는 소인수분해로 따라갈 수 있다.

소인수를 나눠 갖지 않는 두 주기는 가장 드물게 만난다.

매미를 잡아먹는 천적에게도 몇 년마다 수가 늘어나는 주기가 있다고 하자. 매미와 천적이 같은 해에 몰리는 것은 두 주기의 공배수가 되는 해이고, 처음 겹치는 해는 최소공배수다. 매미의 주기가 12년이라면 12 = 2² × 3이라 약수가 1, 2, 3, 4, 6, 12로 많다. 2년, 3년, 4년, 6년 주기의 천적과 모두 12년마다 겹친다.

주기가 17년이면 사정이 다르다. 17은 2에서 16까지의 어떤 수와도 공약수가 1뿐이므로, 최소공배수는 두 수의 곱이 된다. 2년 주기 천적과는 34년, 3년 주기와는 51년, 5년 주기와는 85년에 한 번 겹친다. 13년 주기도 마찬가지로 2년 주기와 26년, 5년 주기와 65년에 한 번이다. 소인수가 자기 하나뿐인 수는 다른 주기와 잘 맞물리지 않는다.

이 설명이 사실인지는 아직 연구 중이다. 기후나 다른 요인이 주기를 정했다는 설명도 있다. 그래도 계산 자체는 분명하다. 두 주기가 얼마나 자주 겹치는지는 공통으로 가진 소인수가 정하고, 공통 소인수가 없으면 겹치는 간격이 가장 길어진다. 소인수분해는 큰 수를 쪼개는 연습이기 전에, 두 수가 무엇을 나눠 갖는지 보는 방법이다.

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