소인수분해

개요

초등에서 약수와 배수를 배웠다. 중학교에서는 한 걸음 더 들어가 자연수를 더 이상 쪼갤 수 없는 수들의 곱으로 분해한다. 이 “가장 작은 조각”이 소수이고, 분해하는 일을 소인수분해라고 한다. 소인수분해는 최대공약수·최소공배수를 빠르게 구하는 열쇠이자, 나중에 분수의 약분·통분과 제곱근을 다루는 바탕이 된다.

핵심 사실

• 합성수: 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수, 약수가 3개 이상. $4, 6, 8, 9, \ldots$ ($1$ 은 소수도 합성수도 아니다.)
• 소인수분해: 자연수를 소수의 곱으로만 나타내는 것. 같은 소수는 거듭제곱으로 묶는다.

$$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3, \qquad 90 = 2 \times 3^2 \times 5$$

• 약수의 개수: 소인수분해가 끝나면 약수를 하나씩 세지 않아도 된다. $N = a^m b^n$ 의 약수는 소인수 $a$ 를 $0$ 개부터 $m$ 개까지, $b$ 를 $0$ 개부터 $n$ 개까지 골라 곱한 결과이므로, 고르는 방법의 수가 곧 약수의 개수다. 하나도 안 고르는 경우까지 세기 때문에 지수보다 $1$ 씩 많다.

$$N = a^m b^n \;\Rightarrow\; (\text{약수의 개수}) = (m+1)(n+1)$$

예: $18 = 2 \times 3^2$ 이므로 $(1+1)(2+1) = 6$ 개이고, 실제로 $1, 2, 3, 6, 9, 18$ 로 여섯 개다.

• 최대공약수(GCD): 두 수의 소인수분해에서 공통인 소인수를, 지수가 작은 쪽으로 골라 곱한다.
• 최소공배수(LCM): 나오는 모든 소인수를, 지수가 큰 쪽으로 골라 곱한다.

$$24 = 2^3 \times 3, \quad 36 = 2^2 \times 3^2 \;\Rightarrow\; \gcd = 2^2 \times 3 = 12, \quad \text{lcm} = 2^3 \times 3^2 = 72$$

비교표

개념	고르는 규칙	24와 36의 예
최대공약수	공통 소인수 · 작은 지수	$2^2 \times 3 = 12$
최소공배수	모든 소인수 · 큰 지수	$2^3 \times 3^2 = 72$
관계식	두 수의 곱 = GCD × LCM	$24 \times 36 = 12 \times 72$

시험 포인트

• 소인수분해는 소수로 나누는 순서와 상관없이 결과가 하나로 정해진다. 어떻게 시작해도 같은 답이 나온다.
• 최대공약수는 약분(분수를 간단히)에, 최소공배수는 통분(분모 맞추기)에 그대로 쓰인다.
• 약수의 개수를 구할 때 지수에 $1$ 을 더하지 않고 그대로 곱하는 실수가 잦다. 소인수를 하나도 안 가져가는 경우가 약수 $1$ 이라는 것을 떠올리면 왜 더하는지 바로 보인다.