배달 가능 지역 「반경 3km」 · 원의 방정식으로 그은 경계
직선으로 2.8km인 집도 길을 따라가면 4km가 될 수 있다
- x² + y² ≤ 9 반경 3km 안쪽
- 2.83 vs 4km (2, 2)까지 직선거리와 길 거리
- 1.78배 반경 3km를 4km로 늘리면 넓이
가게 앞에 「반경 3km 배달」이라고 적혀 있다면, 가게를 중심으로 반지름 3km인 원을 그은 것이다. 가게를 원점으로 두고 동쪽을 x축, 북쪽을 y축(단위 km)으로 잡으면 경계는 원의 방정식 x² + y² = 9이고, 배달이 되는 곳은 그 안쪽 x² + y² ≤ 9다.
지도의 원은 직선이 그은 경계다. 실제로 달리는 길이 그 원을 따르는지는 따로 물어야 한다.
동쪽으로 2km, 북쪽으로 2km 간 곳에 사는 손님의 주소는 (2, 2)다. 두 점 사이의 거리 공식으로 √(2² + 2²) = √8 ≈ 2.83km이니 원 안에 든다. 같은 북쪽 2km라도 동쪽으로 2.5km 간 (2.5, 2)는 √10.25 ≈ 3.20km로 원 밖이다. 앱이 직선거리로 판정한다면 이 둘은 한 블록 차이로 갈린다.
그런데 배달 오토바이는 직선으로 날아가지 않는다. 길이 바둑판처럼 나 있는 동네라면 (2, 2)까지는 동쪽 2km와 북쪽 2km를 따로 달려야 하니 4km다. 지도의 원 안에 있어도 실제로 달리는 거리는 원의 반지름보다 길 수 있다. 바둑판 길에서 실제 거리가 3km 이내인 곳을 그리면 원이 아니라 꼭짓점이 축 위에 있는 마름모 |x| + |y| ≤ 3이 된다. 그래서 길 거리로 범위를 정하는 서비스는 지도에 그린 경계가 원이 아니라 들쭉날쭉하다.
반경을 늘리는 결정도 원으로 계산한다. 반지름이 3km면 넓이는 9π ≈ 28.3㎢, 4km로 늘리면 16π ≈ 50.3㎢이다. 반경을 1km, 즉 33% 늘렸을 뿐인데 배달할 땅은 1.78배가 된다. 넓이가 반지름의 제곱을 따라가기 때문이다. 배달 시간과 손님 수가 같이 늘어나는 이유다.