네모난 공원을 대각선으로 가로지르면 얼마나 빠를까 · 근호의 계산
두 변을 도는 길보다 대각선이 1 − √2/2, 약 29% 짧다
- 100√2m 한 변 100m 정사각형의 대각선
- √2 ÷ 2 둘러 가는 길에 대한 대각선의 비
- 29% 대각선으로 줄이는 거리
한 변이 100m인 정사각형 공원의 한 모서리에서 맞은편 모서리로 가려 한다. 가장자리 길을 따라가면 100 + 100 = 200m다. 잔디밭을 가로지르는 대각선 산책로가 있다면 피타고라스 정리로 √(100² + 100²) = √20000 = 100√2m다. 근호 안의 20000을 10000 × 2로 나누어 100을 근호 밖으로 꺼낸 것이다.
근호 밖의 수는 크기를, 근호 안의 수는 모양을 말한다. 모양이 같으면 비율도 같다.
√2 ≈ 1.414이므로 대각선은 약 141.4m, 둘러 가는 길보다 58.6m 짧다. 비율로 보면 대각선은 둘러 가는 길의 100√2 ÷ 200 = √2 ÷ 2배다. 분모에 근호가 없는 이 꼴은 1 ÷ √2를 유리화한 것과 같다. 1 ÷ √2의 분모와 분자에 √2를 곱하면 √2 ÷ 2가 된다. 어림하기에는 √2 ÷ 2 ≈ 0.707이 더 편하다.
따라서 대각선으로 가면 1 − √2 ÷ 2 ≈ 0.293, 약 29%를 줄인다. 이 비율은 공원의 크기와 상관이 없다. 한 변이 10m이든 1km이든 정사각형이면 늘 29%다. 길이를 모두 같은 배수로 늘려도 근호 밖의 수만 바뀌고 √2는 그대로이기 때문이다.
직사각형 공원이라면 비율이 달라진다. 가로 120m, 세로 50m라면 대각선은 √(14400 + 2500) = √16900 = 130m이고 둘러 가는 길은 170m라 약 24%를 줄인다. 길쭉할수록 대각선의 이득이 줄고 정사각형일 때 가장 크다. 잔디밭에 사람들이 밟아 만든 지름길이 생기는 것은, 사람들이 이 계산을 발로 하고 있다는 뜻이다.