이 페이지 목차 8개
  1. 개요
  2. 핵심 사실
  3. 비교표
  4. 시험 포인트
  5. 예제
  6. 확인 문제
  7. 이어서 보기
  8. 완료
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근호를 포함한 식의 계산

근호끼리의 곱셈·나눗셈, 분모의 유리화, 그리고 같은 근호끼리만 더하는 덧셈·뺄셈 규칙을 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용
시험에 나오는 것
유리화까지 해야 완성이라는 것은 대부분 안다. 배점은 덧셈·뺄셈 전에 근호를 간단히 했는가다. 를 그대로 두고 "더할 수 없다"고 답하는 아이가 많다. 규칙을 다시 외우게 하지 말고 간단히 하기를 첫 수순으로 고정한다.
여기서 무너집니다
라고 쓴다. 곱셈에서 이 되니 덧셈도 되리라 여긴다. 수를 넣어 확인시킨다. , 이라 합이 인데 다. 한 번 어긋나는 것을 보면 다시 합치지 않는다.
확인 질문

은 입니까? 그리고 는 얼마입니까?

"아니다"와 가 함께 나오면 통과. 앞은 맞히고 뒤에서 막히면 간단히 하기를 건너뛴 것이니, 근호 안의 제곱수를 먼저 빼내는 절차를 다시 세운다.

개요

제곱근을 도입했으니 이제 2\sqrt{2} 나 3\sqrt{3} 이 섞인 식을 계산할 차례다. 근호가 붙은 수도 하나의 수이므로 사칙연산이 가능하지만, 곱셈·나눗셈은 자유롭고 덧셈·뺄셈은 같은 근호끼리만 된다는 점이 문자식의 동류항과 똑 닮았다. 분모에 근호가 남지 않게 정리하는 유리화까지 익히면 근호 계산의 기본기가 완성된다.

핵심 사실

정의

곱셈·나눗셈: 근호 안끼리 곱하고 나눈다.

a b=ab,ab=ab(a,b>0)\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}, \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a,b>0)
  • 근호 밖으로 빼기: 근호 안의 제곱인 인수는 밖으로 나온다. 12=22×3=23\sqrt{12}=\sqrt{2^2 \times 3}=2\sqrt{3}
  • 분모의 유리화: 분모에 근호가 있으면 같은 근호를 분모·분자에 곱해 없앤다. 곱한 것이 사실은 11 이라 값은 그대로이고 꼴만 바뀐다.
12=1×22×2=22\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
  • 분모가 두 항이면 켤레를 곱한다. 같은 근호를 곱하면 남은 항에서 근호가 다시 나온다. 부호만 바꾼 짝(켤레)을 곱해야 합차공식으로 근호가 통째로 사라진다.
1a+b=a−b(a+b)(a−b)=a−ba−b\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}

예: 25−3=2(5+3)5−3=5+3\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\dfrac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}. 분모가 22 로 떨어지면서 약분까지 된다.

  • 덧셈·뺄셈: 근호 안이 같은 것끼리만 계수를 더하고 뺀다(동류항처럼). 23+43=632\sqrt{3}+4\sqrt{3}=6\sqrt{3} 은 되지만 2+3\sqrt{2}+\sqrt{3} 은 더 간단해지지 않는다.

완료로 두면 중3 방정식과 함수 목차에 표시됩니다.