사진 액자의 테두리는 몇 cm로 해야 할까 · 이차방정식
20 × 30cm 사진에 넓이가 두 배인 액자를 원하면 테두리는 5cm다
- (20 + 2x)(30 + 2x) 테두리를 두른 액자의 넓이
- x = 5 조건에 맞는 해
- ≈ 8.86cm 넓이를 세 배로 하려면
가로 20cm, 세로 30cm인 사진을 액자에 넣으려 한다. 사진 둘레에 같은 폭의 테두리를 두르고, 액자 전체의 넓이가 사진의 두 배가 되게 하고 싶다. 사진의 넓이는 600㎠이니 액자는 1,200㎠가 되어야 한다. 테두리 폭은 얼마여야 할까.
해가 두 개 나와도 답은 하나일 수 있다. 문제의 조건이 나머지를 걸러 낸다.
테두리 폭을 x cm라 하면 액자의 가로는 양쪽에 테두리가 붙어 20 + 2x, 세로는 30 + 2x이다. 넓이에 대한 식은 (20 + 2x)(30 + 2x) = 1200이다. 전개하면 4x² + 100x + 600 = 1200, 정리하면 4x² + 100x − 600 = 0, 양변을 4로 나누면 x² + 25x − 150 = 0이다.
곱해서 −150, 더해서 25가 되는 두 수는 30과 −5이므로 (x + 30)(x − 5) = 0으로 인수분해된다. 해는 x = −30 또는 x = 5다. 폭은 음수일 수 없으니 x = 5, 테두리를 5cm로 하면 된다. 확인해 보면 액자는 30 × 40cm이고 넓이가 1,200㎠로 정확히 두 배다.
이차방정식은 해가 두 개 나오지만, 실제 문제에서는 조건에 맞는 것만 답이 된다. x = −30은 계산으로는 맞지만 테두리 폭으로는 뜻이 없다. 액자 넓이를 세 배로 하고 싶다면 x² + 25x − 300 = 0이 되어 인수분해가 되지 않으니 근의 공식으로 x = (−25 + √1825) ÷ 2 ≈ 8.86cm를 얻는다. 넓이는 세 배인데 테두리 폭은 두 배가 안 된다. 넓이는 길이의 제곱으로 자라기 때문이다.