인수분해와 이차방정식

개요

Unit 3의 식의 계산에서 $2x(3x - 1) = 6x^2 - 2x$ 처럼 괄호를 풀어 전개하는 연습을 했다. 이번에는 그 화살표를 거꾸로 돌린다. 전개된 식 $6x^2 - 2x$ 를 다시 $2x(3x - 1)$ 처럼 곱의 꼴로 되돌리는 것이 인수분해다. 인수분해를 손에 익히면, 최고차항이 $x^2$ 인 이차방정식을 곱셈 하나의 문제로 바꿔 풀 수 있다. 기초부터 차근차근 되돌리는 눈을 길러 보자.

핵심 사실

• 곱셈공식과 인수분해는 서로 역방향이다. 전개하면 왼쪽에서 오른쪽으로, 인수분해하면 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는다.

$$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$$

즉 상수항이 $ab$, 일차항 계수가 두 수의 합 $a + b$ 가 되도록 두 수를 찾으면 된다.

• 곱이 0이면 둘 중 하나는 0이다. $AB = 0$ 이면 $A = 0$ 또는 $B = 0$ 이다. 이 한 줄이 이차방정식 풀이의 핵심 원리다.
• 인수분해로 풀기: 합이 $5$, 곱이 $6$ 인 두 수는 $2$ 와 $3$ 이다.

$$x^2 - 5x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; (x - 2)(x - 3) = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \ \text{또는}\ x = 3$$

• 인수분해가 깔끔하지 않을 때는 근의 공식으로 마무리한다. $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) 의 해는

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

근호 안의 $b^2 - 4ac$ 를 판별식이라 하고, 그 부호가 근의 개수를 정한다.

• $b^2 - 4ac > 0$ 이면 서로 다른 두 근 (2개)
• $b^2 - 4ac = 0$ 이면 한 근 (중근, 1개)
• $b^2 - 4ac < 0$ 이면 실수 범위의 근이 없다

이 소단원의 두 축을 유도로 봅니다. 곱셈공식은 분배법칙을 두 번 쓴 결과이고, 근의 공식은 완전제곱으로 묶어 제곱근을 취한 것입니다. 프리셋으로 번갈아 보세요. 근의 공식의 $\pm$ 가 어디서 생기는지가 네 번째 단계에서 드러납니다.

곱셈 공식 유도근의 공식 유도

$$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)$$

제곱은 자기 자신을 두 번 곱한 것이다.

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