5지선다 10문항을 모두 찍으면 몇 개나 맞을까 · 독립시행

5지선다 시험 10문항을 하나도 모르고 모두 찍었다고 하자. 한 문항을 맞힐 확률은 1/5이고, 한 문항의 결과가 다른 문항에 영향을 주지 않는다. 같은 시행을 서로 독립으로 10번 되풀이하는 독립시행이다. 정확히 k개를 맞힐 확률은 ₁₀Cₖ × (1/5)ᵏ × (4/5)¹⁰⁻ᵏ이다.

독립인 시행을 되풀이하면, 결과의 확률은 이항계수와 거듭제곱이 정한다.

정확히 2개를 맞힐 확률은 ₁₀C₂ × 0.2² × 0.8⁸ ≈ 0.302로 가장 높다. 평균적으로 맞히는 개수는 10 × 1/5 = 2개다. 하나도 못 맞힐 확률은 0.8¹⁰ ≈ 0.107, 약 10.7%다. 열 명 가운데 한 명꼴로 모두 찍고도 하나도 못 맞힌다.

6개 이상 맞힐 확률은 k = 6부터 10까지를 모두 더해 약 0.0064, 0.64%다. 150명 가운데 한 명꼴이다. 반이 넘게 맞히는 일은 찍기로는 거의 일어나지 않는다. 그래서 시험 점수가 2개 근처를 크게 넘으면, 그 학생이 적어도 몇 문항은 실제로 알고 풀었다고 판단할 수 있다.

이 계산은 「각 문항이 독립이고 확률이 같다」는 가정 위에 서 있다. 보기 몇 개를 지울 수 있으면 그 문항의 확률은 1/5보다 커진다. 두 개를 지우면 1/3이다. 아는 만큼 확률이 바뀌므로 완전히 모르는 문항이 아니라면 찍기 전에 지울 수 있는 보기부터 지우는 것이 낫다.

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