사건의 독립과 독립시행

개요

04에서 조건부확률 $P(B \mid A)$ 를 배웠다. 그러면 자연스러운 물음이 하나 생긴다: $A$ 가 일어났다는 정보를 얻어도 $B$ 의 확률이 조금도 바뀌지 않는 경우가 있을까? 있다. 그런 경우를 독립이라 부른다.

여기서 조심할 것이 있다. 03에서 배운 배반과 이번의 독립은 전혀 다른 말이다. 배반은 “함께 일어날 수 없다”는 뜻이고 독립은 “서로 영향을 주지 않는다”는 뜻이다. 오히려 확률이 $0$ 이 아닌 두 사건이 배반이면, 한쪽이 일어나는 순간 다른 쪽은 절대 일어날 수 없으므로 서로 강하게 영향을 준다, 즉 배반은 독립의 반대에 가깝다.

독립의 가장 쉬운 예가 같은 시행을 되풀이하는 상황이다. 공을 꺼내 색을 보고 도로 넣으면(복원추출) 다음 시행의 조건이 똑같이 유지되어 확률이 변하지 않고, 도로 넣지 않으면(비복원추출) 남은 개수가 바뀌어 확률이 달라진다. 이렇게 같은 시행을 서로 영향 없이 여러 번 반복하는 것이 독립시행이고, 그 확률을 구하는 공식이 이 소단원의 목적지다. 그리고 이 식은 다음 소단원 확률분포에서 배울 이항분포의 확률 그 자체다.

핵심 사실

• 독립과 배반은 다른 말이다. 배반은 $P(A \cap B) = 0$, 독립은 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 다. 두 조건은 확률이 $0$ 이 아닌 한 동시에 성립할 수 없다.
• 복원추출은 독립, 비복원추출은 종속이다. 꺼낸 것을 도로 넣으면 두 번째 시행이 첫 번째의 영향을 받지 않지만, 도로 넣지 않으면 전체 구성이 바뀌어 두 번째 확률은 04에서 배운 조건부확률로 계산해야 한다.
• 독립시행: 같은 시행을 조건을 바꾸지 않고 되풀이하는 것이다. 한 번의 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 확률이 $p$ 일 때, 독립적으로 $n$ 번 시행해 $A$ 가 정확히 $r$ 번 일어날 확률은

$${}_n\mathrm{C}_r\,p^{r}(1-p)^{n-r}$$

이다. 어느 순서로 성공하든 확률은 $p^r(1-p)^{n-r}$ 로 같으므로, 그런 순서가 몇 가지인지($_n\mathrm{C}_r$)를 곱해 다 더한 것과 같다. 이항정리의 일반항과 모양이 같은 것도 이 때문이다.

• 이 확률에 이름이 하나 더 있다: $n$ 번의 독립시행에서 성공 횟수를 확률변수 $X$ 로 두면, 위 식은 바로 $P(X = r)$ 이고 $X$ 는 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$ 를 따른다. 다음 소단원은 이 $X$ 의 평균과 분산을 구하는 데서 시작한다.