가격을 얼마로 정할까 — 매출을 최대로 만드는 이차식
분식집에서 김밥을 3000원에 팔면 하루 200줄이 나간다고 하자. 값을 100원 올릴 때마다 손님이 줄어 판매량은 10줄씩 떨어진다. 그렇다면 값을 올리는 게 이득일까, 내리는 게 이득일까?
100원씩 올린 횟수를 x 라 하면 가격은 3000 + 100x, 판매량은 200 − 10x 이므로 매출은 (3000 + 100x)(200 − 10x) 다. 전개하면 −1000x² + 10000x + 600000 — 위로 볼록한 이차식이다. 값을 올리면 개당 이익은 늘지만 손님이 줄어, 어느 지점을 지나면 매출이 오히려 꺾인다. 그 꺾이는 지점이 바로 포물선의 꼭짓점이고, 완전제곱으로 묶으면 x = 5, 곧 3500원일 때 매출 62만 5천 원으로 가장 크다는 답이 나온다.
"매출 60만 원을 넘기려면 값을 얼마로 해야 하나" 같은 물음이라면 이번에는 −1000x² + 10000x + 600000 = 600000 을 푸는 방정식 문제가 된다. 인수분해가 깔끔하게 되지 않는 숫자여도 근의 공식에 계수를 넣으면 경계가 되는 두 지점이 그대로 나온다. 가격 결정, 광고비 배분, 재고 관리처럼 "많이 하면 좋지만 지나치면 손해"인 상황은 대부분 이 모양의 이차식으로 요약된다.