이차함수와 그래프

개요

Unit 3의 일차함수에서 $y = ax + b$ 가 그리는 직선을 읽었다. 이번에는 $x$ 에 제곱이 붙는다. $y = ax^2 + bx + c$ 는 더 이상 곧은 직선이 아니라, 한 번 휘어 내려갔다 올라오는(또는 올라갔다 내려오는) 포물선을 그린다. 직선에서 곡선으로 한 걸음 나아가, 이 곡선의 모양과 위치를 읽는 눈을 길러 보자.

핵심 사실

• 이차함수는 $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) 꼴이고, 그래프는 포물선이다.
  • $a > 0$ 이면 아래로 볼록(위로 열린 컵 모양), $a < 0$ 이면 위로 볼록(아래로 열린 모양)이다.
  • $|a|$ 가 클수록 포물선의 폭이 좁아지고, 작을수록 넓어진다.
• 꼭짓점 꼴 $y = a(x - p)^2 + q$ 로 고치면 그래프의 핵심 정보가 한눈에 보인다.
  • 꼭짓점은 $(p, q)$, 대칭축은 세로선 $x = p$ 다.
• 그래프와 $x$ 축의 교점의 $x$ 좌표는 곧 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ 의 해다. $x$ 축 위에서는 $y = 0$ 이므로, 교점을 구하는 일과 이차방정식을 푸는 일은 완전히 같은 문제다. Unit 3에서 “두 직선의 교점 = 연립방정식의 해”였던 것의 이차 버전이라고 보면 된다.

아래 슬라이더로 직접 확인해 보세요. 기본값 $y = x^2 - 4x + 3$ 은 $x = 1$ 과 $x = 3$ 에서 $x$ 축과 만납니다. 프리셋으로 $a$ 를 음수로 바꾸거나($a = -1$) 폭을 좁혀도($a = 2$), 세 그래프 모두 여전히 $x = 1, 3$ 에서 $x$ 축과 만나는 것을 눈으로 확인해 보세요.

위로 볼록 (a<0)폭 좁히기 (a=2)기본으로

a = 1.0b = -4.0c = 3.0

D = b² − 4ac = 4.00 → 서로 다른 두 실근 D 의 부호만으로 x축과 몇 번 만나는지가 정해진다 α + β = −b/a = 4.00   αβ = c/a = 3.00 실제 두 근 1.00 과 3.00 을 더하고 곱해도 같다

a (구부러짐) b (기울기) c (y절편)

꼭짓점 (2.00, -1.00), 아래로 볼록. 판별식 4.00, 서로 다른 두 실근.

$a$ 를 바꿔도 근이 그대로인 이유는, 세 식이 모두 $y = a(x - 1)(x - 3)$ 꼴이기 때문입니다. $y = 0$ 이 되는 곳은 $a$ 값과 상관없이 $(x - 1)(x - 3) = 0$, 곧 $x = 1$ 과 $x = 3$ 으로 고정됩니다. $a$ 는 포물선의 벌어진 정도와 볼록 방향만 바꿀 뿐, $x$ 축과 만나는 위치는 바꾸지 못합니다.