매일 같은 약을 먹으면 몸속 양은 어디까지 쌓이나 · 등비급수의 합
매일 100을 먹어도 몸속 양은 끝없이 늘지 않고 200에서 멈춘다
- 200mg 매일 100mg, 하루에 절반이 빠질 때 멈추는 양
- 97% 다섯째 날에 이미 닿는 비율
- 133mg 하루에 4분의 3이 빠지는 약이라면
어떤 약을 하루에 한 번 100mg씩 먹는다고 하자. 이 약은 몸에서 하루에 절반씩 빠져나간다(반감기 24시간). 매일 새로 먹는 양이 쌓이니 몸속 양은 계속 늘어날 것 같지만, 실제로는 어느 값에 다가가며 멈춘다. 이 예의 숫자는 계산을 위해 정한 가상의 약이다.
매일 더해도 끝없이 커지지 않는다. 빠져나가는 비율이 쌓이는 높이를 정한다.
약을 먹은 직후의 양을 날마다 적어 보자. 첫날은 100. 둘째 날은 전날 것의 절반 50에 새로 먹은 100이 더해져 150. 셋째 날은 75 + 100 = 175, 넷째 날은 187.5다. n번째 날 직후의 양은 100 + 50 + 25 + … 처럼 첫째항 100, 공비 1/2인 등비수열의 합이다. 등비수열의 합 공식으로 쓰면 100 × (1 − (1/2)ⁿ) ÷ (1 − 1/2)이다.
n이 커지면 (1/2)ⁿ은 0으로 가므로 합은 100 ÷ (1 − 1/2) = 200에 다가간다. 무한등비급수의 합이다. 다섯째 날에 이미 193.75로 200의 97%에 닿는다. 약을 처음 먹기 시작한 뒤 효과가 자리 잡기까지 며칠이 걸리는 까닭이 여기 있다. 반감기의 네다섯 배쯤 지나면 거의 일정한 수준이 된다는 경험칙도 같은 계산에서 나온다.
공비가 바뀌면 멈추는 높이도 바뀐다. 하루에 4분의 3이 빠져나가는 약이라면 공비는 1/4이고, 양은 100 ÷ (1 − 1/4) ≈ 133에서 멈춘다. 빨리 빠지는 약일수록 쌓이는 높이가 낮다. 거꾸로 공비가 1에 가까우면, 즉 거의 빠지지 않는 약이라면 합이 아주 커진다. 복용 간격과 양을 의사와 약사가 정해 주는 이유가 이 공비에 있다.