세 친구는 어디서 만나야 공평할까 · 삼각형의 무게중심
세 집의 좌표를 평균 낸 점이 거리 제곱의 합을 가장 작게 만든다
- (3, 3) 세 집 좌표의 평균 = 무게중심
- 72 무게중심에서 거리 제곱의 합
- 99 A와 B의 한가운데에서 만나면
세 친구의 집이 지도 위 A(0, 0), B(6, 0), C(3, 9)에 있다(단위 km). 셋이 모일 장소를 하나 정하려 한다. 「공평하다」를 수학으로 옮기는 방법은 여러 가지인데, 그중 하나는 세 사람이 각자 간 거리의 제곱을 더한 값을 가장 작게 하는 것이다. 멀리 가야 하는 사람에게 더 큰 벌점을 주는 셈이다.
평균은 계산 요령이 아니라 하나의 공평함이다. 기준을 바꾸면 다른 점이 공평해진다.
모일 곳을 P(x, y)라 하면 거리 제곱의 합은 x² + y² + (x − 6)² + y² + (x − 3)² + (y − 9)²이다. x만 모으면 3x² − 18x + …, y만 모으면 3y² − 18y + …로, 각각 이차함수다. x = 3, y = 3에서 가장 작아진다. 이 점 (3, 3)은 세 x좌표의 평균 (0 + 6 + 3) ÷ 3과 세 y좌표의 평균 (0 + 0 + 9) ÷ 3, 곧 삼각형 ABC의 무게중심이다.
값을 비교해 보자. 무게중심 (3, 3)에서 거리 제곱의 합은 18 + 18 + 36 = 72다. A와 B의 한가운데인 (3, 0)에서 만나면 9 + 9 + 81 = 99로, C에 사는 친구 혼자 9km를 와야 한다. 세 점 어디를 잡아도 72보다 작아지지 않는다. 좌표의 평균이 이 기준에서 가장 공평한 자리다.
기준을 바꾸면 답도 바뀐다. 제곱하지 않은 거리 그대로의 합을 가장 작게 하는 점은 무게중심이 아니라 세 변을 120°로 바라보는 다른 점이고, 가장 먼 사람의 거리를 줄이려면 또 다른 점이 나온다. 실제로는 길과 대중교통도 따져야 한다. 수학이 정해 주는 것은 「무엇을 공평하다고 부를 것인가」를 정한 다음의 답이다.