이 페이지 목차 8개
  1. 개요
  2. 핵심 사실
  3. 비교표
  4. 시험 포인트
  5. 예제
  6. 확인 문제
  7. 이어서 보기
  8. 완료
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평면좌표

두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리로, 중점과 내분점은 좌표의 평균으로 계산한다.

가르칠 때 짚을 것 교사용
시험에 나오는 것
거리와 중점은 배점이 낮다. 실제로 점수를 가르는 것은 내분점의 계수 위치와 무게중심이다. 여기에 시간을 몰아 쓴다.
여기서 무너집니다
내분점 공식에서 을 어느 좌표에 곱할지 매번 헷갈린다. 외우면 반드시 틀리는 자리다. ** 을 넣어 중점이 나오는지로 검산하는 습관**을 수업에서 함께 한 번 해 보면, 공식을 기억할 필요가 없어진다.
확인 질문

, 을 로 내분하는 점은 어디입니까?

. 가 나오면 계수를 엇갈려 곱하지 않은 것이다. 답을 알려 주지 말고 그 자리에서 검산을 시켜 스스로 찾게 한다.

개요

좌표평면은 중학교에서 이미 만났다. 점의 위치를 (x,y)(x, y) 두 숫자로 적는 그 평면이다. 지금부터 달라지는 것은 도형을 좌표로 계산한다는 태도다. 두 점 사이의 거리를 재려면 자를 대는 대신 좌표를 빼서 피타고라스 정리를 쓰고, 선분의 중점을 찾으려면 그림을 접는 대신 좌표를 평균한다. 이렇게 도형 문제를 계산 문제로 바꾸는 것이 좌표기하의 출발점이며, 뒤이어 나올 직선과 원의 방정식은 모두 이 방식 위에 세워진다.

핵심 사실

정의

두 점 사이의 거리: 두 점 A(x1,y1)\mathrm{A}(x_1, y_1), B(x2,y2)\mathrm{B}(x_2, y_2) 사이의 거리는 다음과 같다.

AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  • 이 식은 새로운 공식이 아니다. 가로 차이와 세로 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변을 구하는 것이니, 피타고라스 정리 그 자체다.

정말 그런지 한 단계씩 확인해 보세요. 좌표의 차이로 직각삼각형을 만드는 첫 걸음만 넘으면 나머지는 중3에서 하던 계산입니다. 마지막 단계는 공간으로 축이 하나 늘어난 것뿐. GPS 가 위성까지의 거리를 재는 식이 그것입니다.

두 점의 x 차이와 y 차이. 이 둘을 두 변으로 하는 직각삼각형을 그린다.

1 / 4 단계
  • 중점의 좌표: 선분 AB\mathrm{AB} 의 중점 M\mathrm{M} 은 두 좌표를 각각 평균한 점이다.
M(x1+x22, y1+y22)\mathrm{M}\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)
  • 내분점의 좌표: 선분 AB\mathrm{AB} 를 m:nm : n 으로 나누는 점 P\mathrm{P} 는 다음과 같다. 계수가 엇갈려 붙는 것이 포인트다.
P(mx2+nx1m+n, my2+ny1m+n)\mathrm{P}\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n},\ \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)
  • 중점은 m=n=1m = n = 1 인 특별한 내분점이다. 위 식에 m=n=1m = n = 1 을 넣으면 중점 공식이 그대로 나오므로, 따로 외울 공식이 하나 줄어든다.
  • 외분점의 좌표: 선분 AB\mathrm{AB} 를 m:nm : n 으로 외분하는 점 Q\mathrm{Q} 는 선분 위가 아니라 그 연장선 위에 있다. AQ‾:QB‾=m:n\overline{\mathrm{AQ}} : \overline{\mathrm{QB}} = m : n 이 되도록 잡은 점이다.
Q(mx2−nx1m−n, my2−ny1m−n)(m≠n)\mathrm{Q}\left(\frac{m x_2 - n x_1}{m - n},\ \frac{m y_2 - n y_1}{m - n}\right) \quad (m \ne n)
  • 외울 식이 하나 느는 것이 아니다. 내분점 공식에서 nn 을 −n-n 으로 바꾸면 그대로 외분점 공식이 된다. 분모가 m−nm - n 이므로 m=nm = n 일 때는 나눌 점이 아예 없다는 것까지 같은 식에서 읽힌다. 외분점은 2022 개정 교육과정의 공통수학에서 빠졌으니, 2015 교육과정으로 배우는 학생만 챙기면 된다. (선분의 외분점에 단계별 유도를 적어 두었다.)
  • 삼각형의 무게중심: 세 꼭짓점의 좌표를 그냥 평균하면 된다.
G(x1+x2+x33, y1+y2+y33)\mathrm{G}\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)

완료로 두면 고1 공통수학 목차에 표시됩니다.