A4는 왜 반으로 접어도 같은 모양인가

A4 용지를 긴 쪽으로 반 접으면 A5가 되고, A5를 다시 접으면 A6이 된다. 크기만 줄고 모양은 그대로다. 노트를 반 접었을 때 늘 이렇게 되지는 않는다. 정사각형에 가까운 종이를 접으면 홀쭉해지고, 홀쭉한 종이를 접으면 정사각형에 가까워진다. 접어도 닮음이 유지되는 가로세로비는 딱 하나뿐이고, 그 값이 √2다.

종이 규격은 취향이 아니라 방정식에서 나왔다. r² = 2 의 해가 곧 A판의 비율이다.

짧은 변을 1, 긴 변을 r이라 하자. 긴 쪽을 반으로 접으면 짧은 변이 r ÷ 2, 긴 변이 1인 종이가 된다. 모양이 그대로려면 짧은 변 대 긴 변의 비가 같아야 하므로 1 : r = (r ÷ 2) : 1 이고, 내항과 외항을 곱하면 r² = 2, 곧 r = √2 ≈ 1.414다. A4가 210 × 297mm인 것을 확인해 보면 297 ÷ 210 = 1.414다.

출발점은 A0이다. 넓이가 정확히 1㎡이고 비가 1 : √2인 종이, 계산하면 841 × 1189mm다. 이것을 반으로 접을 때마다 A1, A2, A3, A4가 되고 넓이는 절반씩 줄어 A4는 1/16㎡, 210 × 297mm가 된다. 종이 무게를 g/㎡로 표시하는 관습이 여기서 나온다. 80g/㎡ 용지라면 A4 한 장은 그 16분의 1인 5g이다.

복사기의 확대 배율에도 이 수가 박혀 있다. A4 원고를 A3로 키울 때 누르는 버튼은 141%, √2를 백분율로 쓴 값이다. 길이가 √2배가 되면 넓이는 (√2)² = 2배, 정확히 한 등급 위가 된다. 반대로 A3를 A4로 줄이는 버튼은 71%다. 닮음비가 k일 때 넓이비가 k²라는 규칙이, 사무실 복사기 버튼에 그대로 인쇄되어 있는 셈이다.

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