도형의 닮음

개요

닮음은 크기는 달라도 모양이 같은 관계다. 지도, 축소 모형, 사진 확대는 모두 닮음의 예다. 합동이 “완전히 포개짐”이라면 닮음은 “일정한 비율로 확대·축소하면 포개짐”이다. 이 비율(닮음비)이 넓이와 부피에서는 제곱·세제곱으로 커진다는 사실이 이 단원의 핵심이다.

핵심 사실

• 삼각형의 닮음조건: 다음 중 하나면 두 삼각형은 닮음이다.
  • 세 쌍의 대응변의 비가 같다 (SSS 닮음)
  • 두 쌍의 대응변의 비가 같고 그 낀각이 같다 (SAS 닮음)
  • 두 쌍의 대응각이 각각 같다 (AA 닮음)
• 넓이비와 부피비: 닮음비가 $m : n$ 이면

$$\text{넓이의 비}=m^2 : n^2, \qquad \text{부피의 비}=m^3 : n^3$$

아래 확대경으로 배율을 직접 밀어 보세요. 길이를 $2$ 배 하면 넓이는 $2$ 배가 아니라 $4$ 배가 되는데, 이것은 외울 규칙이 아니라 칸을 세어 보면 바로 보이는 사실입니다. 가로로도 $2$ 배, 세로로도 $2$ 배 늘어나기 때문입니다.

길이 2배길이 3배

길이비

1 : 2

넓이비

1 : 4

부피비

1 : 8

닮음비 k

길이 2배 → 넓이 2² = 4배 → 부피 2³ = 8배

닮음비 1 대 2. 넓이비는 1 대 4, 부피비는 1 대 8 입니다. 길이가 2배일 때 넓이는 그 제곱, 부피는 세제곱으로 커집니다.

• 평행선과 선분의 비: 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 두 변 위의 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$ 에 대해 $\mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC}$ 이면 $\mathrm{AD} : \mathrm{DB} = \mathrm{AE} : \mathrm{EC}$ 다. 전체를 쓰는 $\mathrm{AD} : \mathrm{AB} = \mathrm{AE} : \mathrm{AC}$ 꼴과 자유롭게 오갈 수 있어야 한다. (평행선과 선분의 비에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 중점연결정리: 두 변의 중점 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$ 을 이으면 $\mathrm{MN} \parallel \mathrm{BC}$ 이고 $\mathrm{MN} = \dfrac{1}{2}\mathrm{BC}$ 다. 나란함과 절반이 따로 증명되는 것이 아니라 닮음비 $1 : 2$ 한 줄에서 함께 나온다. (삼각형의 중점연결정리에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 사다리꼴의 중점을 이은 선분: 평행한 두 변이 $a$, $b$ 일 때 평행하지 않은 두 변의 중점을 이은 선분의 길이는 $\dfrac{1}{2}(a + b)$ 다. 대각선을 하나 그어 중점연결정리를 두 번 쓰면 나온다. (사다리꼴의 중점을 이은 선분에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 삼각형의 무게중심: 세 중선은 한 점 $\mathrm{G}$ 에서 만나고, $\mathrm{G}$ 는 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 $2 : 1$ 로 나눈다. 근거는 중점연결정리가 만드는 닮음비 $1 : 2$ 다. (삼각형의 무게중심에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 직각삼각형의 빗변에 내린 수선: 직각인 꼭짓점에서 빗변에 수선을 내리면 생기는 세 직각삼각형이 모두 닮음이다. 빗변이 $x$, $y$ 로 갈리고 수선이 $h$ 이면 $h^2 = xy$ 이고, 변과 조각 사이에는 $a^2 = cx$, $b^2 = cy$ 가 성립한다. (직각삼각형의 빗변에 내린 수선에 단계별 유도를 적어 두었다.)