위성 안테나와 자동차 전조등은 왜 포물선인가 · 초점으로 모이는 빛
축에 나란히 들어온 신호는 포물선에 부딪힌 뒤 전부 한 점으로 모인다
- FT = FP 접선이 만드는 이등변삼각형
- 36,000km 정지궤도 위성까지. 전파가 나란히 온다
- 37.5cm 지름 60, 깊이 6인 접시의 초점 거리
아파트 베란다의 위성방송 안테나는 오목한 접시 모양이고, 그 앞에 팔 하나가 뻗어 작은 수신기를 들고 있다. 수신기가 있는 자리가 포물선의 초점이다. 접시가 포물선이어야 하는 이유는 포물선의 정의 한 줄에서 나온다.
포물선의 정의는 거리 두 개가 같다는 것뿐인데, 그 한 줄이 모든 빛을 한 점으로 보낸다.
포물선 y² = 4px는 초점 F(p, 0)까지의 거리와 준선 x = −p까지의 거리가 같은 점들의 모임이다. 포물선 위의 점 P(x₁, y₁)에서 그은 접선은 y₁y = 2p(x + x₁)이고, 이 접선은 축과 점 T(−x₁, 0)에서 만난다. 그러면 FT = x₁ + p이다. 그런데 정의에 따라 FP도 준선까지의 거리 x₁ + p와 같다. FT = FP이므로 삼각형 FTP는 이등변삼각형이고, 두 밑각이 같다.
이 같은 두 각이 반사를 정한다. 축에 나란히 들어온 빛이 접선과 이루는 각은 접선이 축과 이루는 각과 같고(엇각), 그것은 FP가 접선과 이루는 각과도 같다. 들어온 각과 나가는 각이 같으니 반사된 빛은 정확히 F로 간다. 어느 점에 부딪혀도 마찬가지다. 약 36,000km 떨어진 정지궤도 위성의 전파는 사실상 나란히 들어오므로, 넓은 접시가 모은 신호가 초점의 수신기 하나에 모인다.
같은 성질을 거꾸로 쓰면 전조등과 손전등이 된다. 초점에 전구를 두면 반사된 빛이 전부 축에 나란히 나가 멀리까지 퍼지지 않는다. 지름 60cm, 깊이 6cm인 접시라면 30² = 4p × 6에서 p = 37.5cm, 즉 바닥에서 37.5cm 떨어진 곳에 수신기를 둬야 한다. 접시가 얕을수록 초점은 멀어진다.