피아노 건반 한 칸은 2의 12제곱근배 · 유리수 지수
반음 12개를 올라가면 진동수가 정확히 두 배가 되도록 2^(1/12)를 곱한다
- 2^(1/12) 반음 하나의 진동수 비, 약 1.0595
- 523.3Hz 라(440Hz)에서 반음 세 칸 위의 도
- 1.4983 평균율의 완전5도. 1.5에 조금 못 미친다
피아노의 라(A4) 음은 1초에 440번 진동한다. 한 옥타브 위의 라는 880번, 정확히 두 배다. 그 사이에는 흰 건반과 검은 건반을 합쳐 반음 12칸이 있다. 한 칸 올라갈 때마다 진동수에 같은 수를 곱해서, 12번 곱하면 2가 되게 하려면 그 수는 얼마여야 할까.
열두 번 곱해서 2가 되는 수. 피아노는 분수 지수 위에서 조율된다.
곱하는 수를 r이라 하면 r¹² = 2이다. 그러니 r = 2^(1/12), 2의 12제곱근이다. 계산하면 약 1.0595, 반음 하나에 진동수가 6%쯤 높아진다. 지수가 정수가 아니라 분수인 거듭제곱이 여기서 필요하다. 2^(1/12)를 12번 곱하면 지수끼리 더해져 2^(12/12) = 2가 된다.
라에서 반음 세 칸 위의 도(C5)는 440 × 2^(3/12) = 440 × 2^(1/4) ≈ 523.3헤르츠다. 2^(3/12)가 2^(1/4), 곧 2의 네제곱근과 같다는 것도 지수의 성질에서 나온다. 이렇게 모든 반음 간격을 똑같이 나눈 방식을 평균율이라 한다. 덕분에 어느 음에서 시작해도 같은 노래를 같은 느낌으로 칠 수 있다.
대가도 있다. 옛날 음악가들은 진동수 비가 3 : 2인 음을 가장 잘 어울리는 「완전5도」로 여겼다. 평균율에서 반음 일곱 칸은 2^(7/12) ≈ 1.4983으로, 1.5에 아주 조금 못 미친다. 귀가 밝은 사람은 이 차이를 듣는다. 2의 거듭제곱으로는 3 : 2를 정확히 만들 수 없기 때문에, 평균율은 모든 조를 공평하게 하려고 아주 작은 어긋남을 고르게 나눠 가진 것이다.