기술 기하
비행기는 공항에 가장 가까이 언제 지나갈까 · 직선의 벡터방정식
항로 p = t(4, 3) 위에서 공항 (10, 0)에 가장 가까운 점은 (6.4, 4.8), 거리 6km다
- p = t(4, 3) 비행기의 항로
- t = 1.6분 공항에 가장 가까운 때
- 6km 가장 가까울 때의 거리
관제탑 레이더 화면에서 원점을 기준으로 비행기가 방향 벡터 d = (4, 3)을 따라 날아간다. 1분마다 (4, 3)만큼 움직인다면 t분 뒤 위치는 p = t(4, 3)이다. 이것이 직선의 벡터방정식이다. 공항이 A(10, 0)에 있을 때, 비행기는 공항에 가장 가까이 언제, 얼마나 가까이 지나갈까.
가장 가까운 곳에서는 잇는 선이 진행 방향과 수직이다. 내적이 0이 되는 곳을 찾으면 된다.
가장 가까운 점에서는 공항에서 비행기를 잇는 벡터가 진행 방향과 수직이다. 두 벡터가 수직이면 내적이 0이므로 (p − A) · d = 0을 푼다. (4t − 10, 3t) · (4, 3) = 16t − 40 + 9t = 25t − 40 = 0이니 t = 1.6분이다. 그때 위치는 (6.4, 4.8)이다.
거리는 |(6.4 − 10, 4.8)| = |(−3.6, 4.8)| = √(12.96 + 23.04) = 6km다. 법선벡터를 써도 같다. 항로는 3x − 4y = 0이고 법선벡터는 (3, −4)이니, 점과 직선 사이의 거리 공식으로 |3 × 10 − 4 × 0| ÷ 5 = 6이 나온다. 두 방법이 같은 답을 주는 것은 내적과 법선벡터가 모두 「수직」을 말하기 때문이다.
관제사는 이런 계산으로 두 비행기가 가장 가까워지는 시각과 거리를 미리 본다. 두 비행기의 위치를 각각 벡터방정식으로 쓰고 그 차가 가장 작아지는 t를 찾는다. 정해진 안전 거리보다 가까워질 것으로 계산되면 미리 고도나 방향을 바꾸게 한다.