벡터로 나타낸 도형의 방정식

개요

공통수학2에서 직선과 원의 방정식을 좌표로 다뤘다. 여기서는 같은 도형을 벡터로 나타낸다. 굳이 다시 쓰는 이유는 두 가지다.

첫째, 벡터로 쓰면 도형의 뜻이 그대로 드러난다. 직선은 “한 점을 지나 한 방향으로 뻗어 나간 것”이고, 원은 “한 점에서 같은 거리에 있는 점의 모임”인데, 벡터 식이 이 문장을 거의 그대로 옮긴 모양이다.

둘째, 이 표현은 공간에서도 그대로 쓸 수 있다. 평면의 직선 방정식 $y = mx + n$ 은 공간에서는 통하지 않지만, 벡터 식은 성분을 하나 늘리기만 하면 된다. 다음 소단원의 공간도형이 이 표현 위에서 다뤄진다.

핵심 사실

• 방향벡터는 직선이 뻗어 나가는 방향을 나타내는 벡터이며, 실수배해도 같은 직선을 나타낸다. $t$ 를 움직이면 점이 직선을 따라 이동한다.
• 성분으로 쓰면 매개변수 방정식이 된다. $\vec{a} = (x_1, y_1)$, $\vec{u} = (u_1, u_2)$ 이면 $x = x_1 + tu_1,\ y = y_1 + tu_2$ 이고, $t$ 를 소거하면 익숙한 직선의 방정식이 나온다.
• 두 점을 지나는 직선은 방향벡터로 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a}$ 를 쓰면 된다.

$$\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a}) = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$$

• 법선벡터를 이용한 직선: 직선에 수직인 벡터 $\vec{n}$ 을 법선벡터라 한다. 직선 위의 점과 $\mathrm{A}$ 를 잇는 벡터는 $\vec{n}$ 과 수직이므로

$$\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$$

• 직선 $ax + by + c = 0$ 의 법선벡터는 $(a, b)$ 이고 방향벡터는 $(b, -a)$ 다. 계수가 곧 법선벡터라는 점이 요긴하다.

“한 점을 지나 한 방향으로 뻗어 나간 것”이라는 문장이 어떻게 식이 되는지 아래에서 확인해 보세요. $t$ 를 밀면 점 $\mathrm{P}$ 가 직선을 따라 미끄러집니다. $t=0$ 이면 $\mathrm{A}$ 자리이고, 음수로 가면 반대쪽으로 갑니다. 방향벡터 $\vec u$ 의 끝을 끌어 방향을 바꾸면 직선이 통째로 돌고, 주황색 법선벡터가 늘 직각을 유지하는 것도 보입니다. $\vec n$ 이 $\vec u$ 를 $90°$ 돌린 $(-u_2, u_1)$ 이라 내적이 언제나 $0$ 이기 때문입니다.

t 를 밀어 직선을 따라가기방향벡터를 실수배해도 같은 직선방향벡터끼리의 내적으로 각 재기

합 a + b차 a − b실수배 k a내적 a · b직선 p = a + t u내분점 P

두 화살표의 끝을 끌어 보세요(방향키로도 움직입니다). 끝점은 격자에 붙어 성분이 정수로 유지됩니다.

t = 1

a = (−2, 1)   |a| = √5 = 2.24

u = (2, 1)   |u| = √5 = 2.24

p = a + t u = (0, 2)

n = (−u₂, u₁) = (−1, 2)   n · u = (−1)×2 + 2×1 = 0 법선벡터는 방향벡터를 90° 돌린 것이다. 내적이 0 이라 수직이다

a 는 -2, 1 이고 b 는 2, 1 입니다. 점 a 를 지나고 방향벡터가 b 인 직선입니다. t 가 1 일 때 점 p 는 0, 2 입니다.

• 두 직선이 이루는 각은 방향벡터끼리(또는 법선벡터끼리)의 내적으로 구한다. 평행이면 두 방향벡터가 실수배 관계, 수직이면 내적이 $0$ 이다.
• 원의 벡터방정식: 중심 $\mathrm{C}(\vec{c})$, 반지름 $r$ 인 원은 중심까지의 거리가 일정하다는 조건 그대로다.

$$|\vec{p} - \vec{c}| = r$$

• 지름의 양 끝이 주어진 원: 두 끝점을 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 라 하면 지름에 대한 원주각이 직각이므로

$$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$$