속도계 바늘은 미분이다 — 순간을 재는 법
자동차 속도계는 "지금" 몇 km/h 로 달리는지를 보여 준다. 그런데 속력은 거리를 시간으로 나눈 값인데, '지금 이 순간'은 시간이 흐르지 않은 한 점이다. 0으로 나눌 수는 없으니 이 값은 어떻게 나오는 걸까.
답은 아주 짧은 시간을 재는 데 있다. 바퀴에 달린 센서는 1초에도 수십 번 회전을 감지해, 방금 지난 아주 짧은 구간의 거리와 시간으로 평균 속력을 구한다. 그 시간 간격을 한없이 줄여 갈 때 다가가는 값이 순간 속도이고, 이것이 바로 거리 함수를 시간으로 미분한 값이다. 속도계 바늘은 미분값을 실시간으로 그려 주는 장치인 셈이다.
같은 구조가 도처에 있다. 심박수 앱은 맥박 신호의 변화율을, 주식 앱의 상승률은 가격 그래프의 기울기를, 감염병 뉴스의 "확산 속도"는 확진자 수 곡선의 기울기를 본다. 곡선 위 한 점에서 접선을 그었을 때의 기울기 — 미분이 답하는 질문은 늘 "지금 얼마나 빠르게 변하고 있는가" 하나다.