휴지 한 롤을 다 풀면 몇 미터일까
휴지 한 롤을 다 풀면 약 26.6m, 등차수열의 합으로 나온다
- 26.6m 한 롤의 전체 길이
- 110개 감긴 층의 수
- 44% 겉 반지름이 4cm일 때 남은 길이
두루마리 휴지를 풀어 본 적은 없어도 길이는 계산할 수 있다. 심의 반지름이 2.2cm, 다 감긴 겉 반지름이 5.5cm, 휴지 두께가 0.03cm인 롤을 생각해 보자. 답은 약 26.6m다.
두께는 반지름을 따라 줄지만 길이는 그 제곱을 따라 준다. 눈이 속는 지점이 정확히 여기다.
한 겹을 원 하나로 보면 그 길이는 2πr이다. 감긴 층은 심에서 바깥으로 두께 0.03cm씩 커지므로 반지름이 2.23, 2.26, 2.29, … 로 늘어나는 등차수열이고, 층의 개수는 (5.5 − 2.2) ÷ 0.03 = 110개다. 각 층의 길이도 반지름에 비례해 등차수열을 이루니, 전체 길이는 등차수열의 합이다. 첫 층이 2π × 2.2 ≈ 13.8cm, 마지막 층이 2π × 5.5 ≈ 34.6cm이므로 합은 110 × (13.8 + 34.6) ÷ 2 = 110 × 24.2 = 2,662cm, 약 26.6m다.
다른 방법으로 검산해 보자. 휴지를 옆에서 본 단면의 넓이는 큰 원에서 심을 뺀 π(5.5² − 2.2²) = π × 25.41 ≈ 79.8㎠다. 이 넓이를 두께 0.03cm로 나누면 길이가 나온다. 79.8 ÷ 0.03 ≈ 2,660cm. 등차수열의 합으로 구한 값과 일치한다. 등차수열의 합 공식이 "첫항과 끝항의 평균 × 개수"인 이유가 여기서 보인다. 평균 반지름 하나로 전체를 대표할 수 있다는 뜻이다.
이 계산은 실생활에서 한 번 더 쓸모가 있다. 휴지가 절반쯤 남았다고 느낄 때, 겉 반지름이 5.5cm에서 4cm로 줄었다면 남은 길이는 π(4² − 2.2²) ÷ 0.03 ≈ 11.7m다. 처음의 26.6m 가운데 44%, 절반이 안 된다. 길이는 반지름이 아니라 반지름의 제곱에 붙어 있어서, 눈에 보이는 두께가 절반이 되기 전에 휴지는 이미 절반보다 많이 사라진다. 두께가 얇아지는 속도가 갈수록 빨라 보이는 것도 착각이 아니다.